Realizar la siguiente suma de fracciones $$ 2 y $$ $$ 3 y^{2}+11 y+6+\frac{y+1}{y^{2}-9}+\frac{1}{3 y+2} $$

Question

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Consideremos la suma de las siguientes fracciones:

$$
\frac{2y}{3y^{2}+11y+6}+\frac{y+1}{y^2-9}+\frac{1}{3y+2}.
$$

Notamos que:
  
1. El primer denominador se factoriza como
   $$
   3y^{2}+11y+6=(3y+2)(y+3).
   $$
2. El segundo denominador es una diferencia de cuadrados:
   $$
   y^{2}-9=(y-3)(y+3).
   $$
3. El tercer denominador ya es lineal: $$3y+2$$.

Por ello, la expresión se escribe como

$$
\frac{2y}{(3y+2)(y+3)}+\frac{y+1}{(y-3)(y+3)}+\frac{1}{3y+2}.
$$

Para sumar las fracciones encontraremos un común denominador. El mínimo común denominador (mcd) es

$$
(3y+2)(y+3)(y-3).
$$

Ajustamos cada término:

1. En la primera fracción, multiplicamos numerador y denominador por $$(y-3)$$:
   $$
   \frac{2y}{(3y+2)(y+3)}=\frac{2y(y-3)}{(3y+2)(y+3)(y-3)}.
   $$
2. En la segunda, multiplicamos por $$(3y+2)$$:
   $$
   \frac{y+1}{(y-3)(y+3)}=\frac{(y+1)(3y+2)}{(3y+2)(y-3)(y+3)}.
   $$
3. En la tercera, multiplicamos por $$(y+3)(y-3)$$:
   $$
   \frac{1}{3y+2}=\frac{(y+3)(y-3)}{(3y+2)(y+3)(y-3)}.
   $$

Con estos ajustes, la suma se convierte en

$$
\frac{2y(y-3)+(y+1)(3y+2)+(y+3)(y-3)}{(3y+2)(y+3)(y-3)}.
$$

Calculemos el numerador paso a paso:

1. Expandir el primer término:
   $$
   2y(y-3)=2y^2-6y.
   $$
2. Expandir el segundo término:
   $$
   (y+1)(3y+2)=3y^2+2y+3y+2=3y^2+5y+2.
   $$
3. Expandir el tercer término (producto notable):
   $$
   (y+3)(y-3)=y^2-9.
   $$

Sumando todos los términos:

$$
2y^2-6y+3y^2+5y+2+y^2-9 = (2y^2+3y^2+y^2)+(-6y+5y)+(2-9).
$$

Procedemos a ordenar:

$$
2y^2+3y^2+y^2=6y^2,\quad -6y+5y=-y,\quad 2-9=-7.
$$

De modo que el numerador es

$$
6y^2-y-7.
$$

Verifiquemos si se puede factorizar $$6y^2-y-7$$. Buscamos dos números que al multiplicarlos den $$6 \cdot (-7)=-42$$ y que sumados den $$-1$$. Se tiene que $$-7$$ y $$6$$ cumplen esta propiedad, ya que

$$
-7+6=-1\quad \text{y}\quad -7\cdot6=-42.
$$

Para factorizar, buscamos escribir:

$$
6y^2-y-7=6y^2+6y-7y-7.
$$

Agrupando:

$$
(6y^2+6y)-(7y+7)=6y(y+1)-7(y+1)=(6y-7)(y+1).
$$

Por lo tanto, la suma de las fracciones es

$$
\frac{(6y-7)(y+1)}{(3y+2)(y+3)(y-3)}.
$$
La suma de las fracciones es $$\frac{(6y - 7)(y + 1)}{(3y + 2)(y + 3)(y - 3)}$$.

Realizar la siguiente suma de fracciones \[ 2 y \] \( 3 y^{2}+11 y+6+\frac{y+1}{y^{2}-9}+\frac{1}{3 y+2} \)

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