\[ \text { ACTIVIDAD } \] Usando el método gráfico resuelva correctamente el siguiente modelo de programación lineal. Especifique claramente la solución del problema: Max \( z=20 x_{1}+22 x_{2} \) Sujeto a: \( 8 x_{1}+6 x_{2} \leq 48 \) \( 6 x_{1}+8 x_{2} \leq 48 \) \( 7 x_{1}+7 x_{2}=42 \) \( x_{1}, x_{2} \geq 0 \)

Para resolver el problema de programación lineal utilizando el método gráfico, primero graficamos las restricciones en el plano cartesiano. 1. La primera restricción, \( 8 x_{1} + 6 x_{2} \leq 48 \), se puede reescribir en forma de ecuación para encontrar los puntos de intersección: \( x_{2} = 8 - \frac{4}{3}x_{1} \). 2. La segunda, \( 6 x_{1} + 8 x_{2} \leq 48 \), se reescribe como \( x_{2} = 6 - \frac{3}{4}x_{1} \). 3. La tercera ecuación, \( 7 x_{1} + 7 x_{2} = 42 \), se simplifica a \( x_{2} = 6 - x_{1} \). Al graficar estas líneas, encontramos el área factible que cumple todas las restricciones. Los vértices de esta área son puntos clave donde se puede maximizar \( z \). Calculando los \( z \) en cada vértice: - En el vértice \( (0, 6) \): \( z = 132 \) - En el vértice \( (6, 0) \): \( z = 120 \) - En el vértice \( (3, 4.5) \): \( z = 159 \) - En el vértice \( (4, 2) \): \( z = 136 \) La solución óptima ocurre en el punto \( (3, 4.5) \) con un valor máximo de \( z = 159 \). --- Con el método gráfico, visualizar las restricciones es clave para entender cómo se forma la región factible. ¡Imagina un juego de connect-the-dots! Cada línea te da pistas sobre qué combinaciones de recursos (en este caso \( x_1 \) y \( x_2 \)) son posibles, y el área común es donde todas las reglas (restricciones) se cumplen. Si te encuentras con problemas al graficar, asegúrate de construir tus líneas correctamente. Un error común es confundir las regresiones cuando se pasan a la fórmula \( y = mx + b \). ¡Tómate tu tiempo y verifica cada paso antes de concluir la gráfica!