Problème 2. Volume, différents systèmes de coordonnées. Le volume d'un solide limité par un cylindre et une sphère est donné par \[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \int_{-\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} d z d y d x \] (a) Décrivez le solide en question et faites une figure (à la main). (b) Écrivez, sans évaluer, une intégrale équivalente en coordonnées cylindriques. (c) Écrivez, sans évaluer, une intégrale équivalente en coordonnées sphériques avec l'ordre d'intégration \( d \theta d \rho d \phi \). (d) Dour ceci, il sera utile de déterminer l'équation du cylindre en coordonnées sphériques. (dolume du solide en question (évaluez une seule des intégrales triples).

Le solide décrit par l'intégrale donnée est en fait l'intersection d'un cylindre et d'une sphère. Le cylindre a pour équation \( x^2 + y^2 = 2x \), ce qui revient à un cylindre de rayon 1 centré à \( (1, 0) \) sur le plan \( xy \). La sphère est donnée par \( x^2 + y^2 + z^2 = 4 \), ce qui représente une sphère de rayon 2 centrée à l'origine. Pour visualiser cela, imaginez un cylindre vertical traversant une sphère plus grande. Vous pouvez dessiner un cercle (cylindre en coupe) dans un plan horizontal et une sphère autour. Pour la conversion en coordonnées cylindriques, on utilise les relations \( x = r \cos(\theta) \), \( y = r \sin(\theta) \), et \( z = z \). La nouvelle intégrale devient : \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\cos(\theta)} \int_{-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta. \] Ici, \( r \) varie jusqu'à la projection du cylindre sur le plan \( xy \). En coordonnées sphériques, on définit \( x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta) \), \( y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta) \), et \( z = \rho \cos(\phi) \). Les intégrales sont alors données par : \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} \rho^2 \sin(\phi) \, d\rho \, d\phi \, d\theta, \] où la plage de \( \rho \) est jusqu'à la sphère et l'angle entre l'axe \( z \) et le rayon. Pour déterminer l'équation du cylindre en coordonnées sphériques, il est utile de réécrire \( x^2 + y^2 - 2x = 0 \) dans ces coordonnées, ce qui donne une approche plus visuelle pour l'intersection avec la sphère. L'évaluation de l'une des intégrales triples dépendra des bornes que vous choisissez, mais généralement la première, en coordonnées cartésiennes, peut être plus directe.