Problème 2. Volume, différents systèmes de coordonnées. Le volume d'un solide limité par un cylindre et une sphère est donné par \[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \int_{-\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} d z d y d x \] (a) Décrivez le solide en question et faites une figure (à la main). (b) Écrivez, sans évaluer, une intégrale équivalente en coordonnées cylindriques. (c) Écrivez, sans évaluer, une intégrale équivalente en coordonnées sphériques avec l'ordre d'intégration \( d \theta d \rho d \phi \). (d) Dour ceci, il sera utile de déterminer l'équation du cylindre en coordonnées sphériques. (dolume du solide en question (évaluez une seule des intégrales triples).

Pour résoudre ce problème, nous allons suivre les étapes demandées. ### (a) Description du solide Le solide est limité par un cylindre et une sphère. 1. **Cylindre** : L'intégrale en \(y\) est limitée par \(\sqrt{2x - x^2}\), ce qui représente un cylindre de rayon 1 centré sur l'axe \(x\) dans le plan \(xy\). En effet, en posant \(y^2 = 2x - x^2\), on obtient l'équation d'un cercle de rayon 1 lorsque \(x\) varie de 0 à 2. 2. **Sphère** : L'intégrale en \(z\) est limitée par \(-\sqrt{4 - x^2 - y^2}\) et \(\sqrt{4 - x^2 - y^2}\), ce qui représente une sphère de rayon 2 centrée à l'origine. En résumé, le solide est un cylindre de rayon 1 qui est coupé par une sphère de rayon 2. ### (b) Intégrale équivalente en coordonnées cylindriques En coordonnées cylindriques, nous avons : - \(x = r \cos(\theta)\) - \(y = r \sin(\theta)\) - \(z = z\) - \(dV = r \, dr \, d\theta \, dz\) Les limites pour \(r\) vont de 0 à 1 (rayon du cylindre), pour \(\theta\) de 0 à \(2\pi\), et pour \(z\) de \(-\sqrt{4 - r^2}\) à \(\sqrt{4 - r^2}\). L'intégrale en coordonnées cylindriques devient : \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta \] ### (c) Intégrale équivalente en coordonnées sphériques En coordonnées sphériques, nous avons : - \(x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta)\) - \(y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta)\) - \(z = \rho \cos(\phi)\) - \(dV = \rho^2 \sin(\phi) \, d\rho \, d\phi \, d\theta\) Les limites pour \(\rho\) vont de 0 à 2 (rayon de la sphère), pour \(\phi\) de 0 à \(\pi\), et pour \(\theta\) de 0 à \(2\pi\). L'intégrale en coordonnées sphériques devient : \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} \rho^2 \sin(\phi) \, d\rho \, d\phi \, d\theta \] ### (d) Équation du cylindre en coordonnées sphériques Pour déterminer l'équation du cylindre en coordonnées sphériques, nous savons que le cylindre est défini par \(y^2 + z^2 = 1\). En coordonnées sphériques, cela devient : \[ \rho^2 \sin^2(\phi) = 1 \] ou \[ \rho \sin(\phi) = 1 \] ### (e) Évaluation d'une des intégrales triples Nous allons évaluer l'intégrale en coordonnées cylindriques : \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta \] 1. **Intégration par rapport à \(z\)** : \[ \int_{-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} r \, dz = r \left[ z \right]_{-\sqrt{4 - r^2}}^{\sqrt{4 - r^2}} = r \left( \sqrt{4 - r^2} - (-\sqrt{4 - r^2}) \right) = 2r\sqrt{4 - r^2} \] 2. **Intégration par rapport à \(r\)** : \[ \int_{0}^{1} 2r\sqrt{4 - r^2} \, dr \] Pour évaluer cette intégrale, nous allons utiliser la substitution \(u = 4 - r^2\), ce qui donne \(du = -2r \, dr\) ou \(dr = -\frac{du}{2r}\). Les limites changent de \(r = 0\) à \(r = 1\) pour \(u = 4\) à \(u = 3\). L'intégrale devient : \[ \int_{4}^{3} -\sqrt{u} \, du = \int_{3}^{4} \sqrt{u} \, du \] 3. **Intégration par rapport à \(u\)** : \[ \int \sqrt{u} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} \] Évaluons cela de 3 à 4 : \[ \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{3}^{4} = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 3^{3/2}) = \frac{2}{3} (8 - 3\sqrt{3}) \] 4. **Intégration par rapport à \(\theta\)** : \[ \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi \] Finalement, le volume du solide est : \[ V = 2\pi \cdot \frac{2}{3} (8 - 3\sqrt{3}) = \frac{4\pi}{3} (8 - 3\sqrt{3}) \] Voilà, nous avons décrit le solide, écrit les intégrales équivalentes et évalué l'une d'elles.