2. Dado que la función \( f(x)=a x^{3}+9 a x^{2}+24 a x-4 \) (donde \( a \neq 0 \) ) tiene un valor máximo relativo de -20 , encuentre el valor mínimo relativo. val

Para determinar el valor mínimo relativo de la función \( f(x) = a x^{3} + 9 a x^{2} + 24 a x - 4 \) dado que tiene un valor máximo relativo de -20, seguiremos los siguientes pasos: ### 1. Encontrar los puntos críticos Primero, derivamos la función para encontrar sus puntos críticos. \[ f'(x) = 3a x^{2} + 18a x + 24a \] Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: \[ 3a x^{2} + 18a x + 24a = 0 \implies x^{2} + 6x + 8 = 0 \] Resolviendo la ecuación cuadrática: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2} \implies x = -4 \quad \text{o} \quad x = -2 \] ### 2. Determinar la naturaleza de los puntos críticos Calculamos la segunda derivada para determinar si cada punto crítico es un máximo o un mínimo. \[ f''(x) = 6a x + 18a \] Evaluamos en los puntos críticos: - Para \( x = -4 \): \[ f''(-4) = 6a(-4) + 18a = -24a + 18a = -6a \] - Para \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 6a(-2) + 18a = -12a + 18a = 6a \] **Interpretación:** - Si \( a > 0 \): - \( x = -4 \) es un **máximo** porque \( f''(-4) < 0 \). - \( x = -2 \) es un **mínimo** porque \( f''(-2) > 0 \). - Si \( a < 0 \): - La situación es opuesta: - \( x = -4 \) sería un **mínimo**. - \( x = -2 \) sería un **máximo**. ### 3. Determinar el valor de \( a \) Dado que la función tiene un **valor máximo relativo de -20**, consideramos \( a > 0 \) (ya que si \( a < 0 \), no concuerda con el valor dado). Usamos el punto crítico correspondiente al máximo (\( x = -4 \)): \[ f(-4) = a(-4)^3 + 9a(-4)^2 + 24a(-4) - 4 = -64a + 144a - 96a - 4 = -16a - 4 \] Igualamos al máximo dado: \[ -16a - 4 = -20 \implies -16a = -16 \implies a = 1 \] ### 4. Calcular el valor mínimo relativo Ahora, calculamos \( f(-2) \) con \( a = 1 \): \[ f(-2) = 1(-2)^3 + 9(1)(-2)^2 + 24(1)(-2) - 4 = -8 + 36 - 48 - 4 = -24 \] ### **Respuesta Final** El valor mínimo relativo de la función es **-24**.