In una casa di campagna l'acqua (densità $$ 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} $$ ) viene pompata da un pozzo che si trova a 10 m di pro- fondita in un tubo del diametro di $$ 5,0 \mathrm{~cm} $$ alla velocità di $$ 0,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $$ e a una pressione di $$ 2,80 \mathrm{~atm} $$. Quando l'acqua raggiunge il piano terra della casa, il tubo presenta un raggio di $$ 1,25 \mathrm{~cm} $$. Determina la velocità e la pressione con cui fuoriesce l'acqua. $$ \left[3,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 1,81 \cdot 10^{5} \mathrm{pa}\right] $$

Question

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Consideriamo due sezioni del tubo:

- Punto 1 (all’interno del pozzo):  
  $$\displaystyle r_1=2,50\,\mathrm{cm}=0,025\,\mathrm{m}$$,  
  $$\displaystyle v_1=0,80\,\mathrm{m/s}$$,  
  $$\displaystyle p_1=2,80\,\mathrm{atm}$$ (conversione: $$1\,\mathrm{atm}\approx1,013\times10^5\,\mathrm{Pa}$$ → $$p_1=2,80\times1,013\times10^5\approx2,836\times10^5\,\mathrm{Pa}$$),  
  e si trova a un'altezza $$z_1=-10\,\mathrm{m}$$ (10 m sotto il piano terra).

- Punto 2 (all’uscita a piano terra):  
  $$\displaystyle r_2=1,25\,\mathrm{cm}=0,0125\,\mathrm{m}$$,  
  $$\displaystyle v_2=?$$,  
  $$\displaystyle p_2=?$$,  
  e $$z_2=0\,\mathrm{m}$$.

Utilizziamo il principio di continuità e l’equazione di Bernoulli per determinare la velocità e la pressione in uscita.

### Passo 1 – Equazione di continuità

La continuità impone:

$$
A_1v_1=A_2v_2
$$

dove l’area trasversale è:

$$
A=\pi r^2
$$

Calcoliamo le aree:

$$
A_1=\pi (0,025)^2=\pi\, (0,000625)
$$
$$
A_2=\pi (0,0125)^2=\pi\, (0,00015625)
$$

Il rapporto è:

$$
\frac{A_1}{A_2}=\frac{0,000625}{0,00015625}=4
$$

Pertanto:

$$
v_2=4\,v_1=4\times0,80\,\mathrm{m/s}=3,20\,\mathrm{m/s}
$$

### Passo 2 – Equazione di Bernoulli

L’equazione di Bernoulli per flusso stazionario lungo una linea di corrente, includendo il termine gravizionale, è:

$$
\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2
$$

Isoliamo $$\displaystyle \frac{p_2}{\rho g}$$:

$$
\frac{p_2}{\rho g}=\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2-v_2^2}{2g}+z_1-z_2
$$

Considerando $$z_1=-10\,\mathrm{m}$$ e $$z_2=0\,\mathrm{m}$$, scriviamo:

$$
\frac{p_2}{\rho g}=\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2-v_2^2}{2g}-10
$$

Moltiplichiamo per $$\rho g$$ per ottenere $$p_2$$:

$$
p_2=p_1+\frac{1}{2}\rho (v_1^2-v_2^2)-\rho g\,10
$$

Sostituiamo i valori noti:

- $$\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}$$
- $$g\approx9,81\,\mathrm{m/s^2}$$
- $$v_1^2=(0,80)^2=0,64\,\mathrm{m^2/s^2}$$
- $$v_2^2=(3,20)^2=10,24\,\mathrm{m^2/s^2}$$

Calcoliamo il termine cinetico:

$$
\frac{1}{2}\rho (v_1^2-v_2^2)=\frac{1}{2}\times1000\times (0,64-10,24)=500\times(-9,6)=-4800\,\mathrm{Pa}
$$

Calcoliamo il termine gravitazionale:

$$
\rho g\,10=1000\times9,81\times10\approx98100\,\mathrm{Pa}
$$

Sostituendo nel campo:

$$
p_2=p_1-4800-98100
$$

Con $$p_1\approx2,836\times10^5\,\mathrm{Pa}$$:

$$
p_2\approx283600\,\mathrm{Pa}-4800\,\mathrm{Pa}-98100\,\mathrm{Pa}\approx180700\,\mathrm{Pa}
$$

Espressione approssimativa:

$$
p_2\approx1,81\times10^5\,\mathrm{Pa}
$$

### Risultato finale

$$
v_2=3,20\,\mathrm{m/s} \quad \text{e} \quad p_2\approx1,81\times10^5\,\mathrm{Pa}
$$
La velocità dell'acqua all'uscita è $$3,20\,\mathrm{m/s}$$ e la pressione è $$1,81\times10^{5}\,\mathrm{Pa}$$.

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