32 Le plan est muni d'un repère (O, I, J). m est un nombre réel et (D) est la droite d'équation : $$ m x+(m+2) y=2-m $$. 1. Détermine $$ m $$ pour que (D) soit parallèle à (OI), puis donne une équation de (D). 2. Détermine $$ m $$ pour que (D) soit parallèle à(OJ), puis donne une équation de (D). 3. Détermine $$ m $$ pour que (D) passe par le point O , puis donne une équation de (D).

Question

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1. Pour que $$(D)$$ soit parallèle à $$(OI)$$ (la droite passant par $$ O $$ et $$ I $$ et horizontale), il faut que l'équation de $$(D)$$ ne contienne pas de terme en $$ x $$.  
   Ceci impose  
   $$
   m = 0.
   $$
   En remplaçant dans l'équation $$ m x + (m+2)y = 2-m $$, on obtient  
   $$
   0 \cdot x + (0+2)y = 2-0 \quad\Longrightarrow\quad 2y = 2,
   $$
   d'où  
   $$
   y = 1.
   $$
   
2. Pour que $$(D)$$ soit parallèle à $$(OJ)$$ (la droite passant par $$ O $$ et $$ J $$ et verticale), il faut que l'équation de $$(D)$$ ne contienne pas de terme en $$ y $$.  
   Ceci impose  
   $$
   m+2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = -2.
   $$
   En remplaçant dans l'équation $$ m x + (m+2)y = 2-m $$, on obtient  
   $$
   -2x + 0\cdot y = 2-(-2) \quad\Longrightarrow\quad -2x = 4,
   $$
   d'où  
   $$
   x = -2.
   $$
   
3. Pour que $$(D)$$ passe par le point $$O$$ (l'origine $$(0,0)$$), on remplace $$ x = 0 $$ et $$ y = 0 $$ dans l'équation :  
   $$
   m \cdot 0 + (m+2) \cdot 0 = 2-m \quad\Longrightarrow\quad 0 = 2-m.
   $$
   D'où  
   $$
   m = 2.
   $$
   En remplaçant dans l'équation initiale, on obtient  
   $$
   2x + (2+2)y = 2-2 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 4y = 0,
   $$
   que l'on peut simplifier en  
   $$
   x + 2y = 0.
   $$
1. Pour que $$(D)$$ soit parallèle à $$(OI)$$, $$ m = 0 $$. L'équation de $$(D)$$ devient $$ y = 1 $$. 2. Pour que $$(D)$$ soit parallèle à $$(OJ)$$, $$ m = -2 $$. L'équation de $$(D)$$ devient $$ x = -2 $$. 3. Pour que $$(D)$$ passe par $$ O $$, $$ m = 2 $$. L'équation de $$(D)$$ devient $$ x + 2y = 0 $$.

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