32 Le plan est muni d'un repère (O, I, J). m est un nombre réel et (D) est la droite d'équation : \( m x+(m+2) y=2-m \). 1. Détermine \( m \) pour que (D) soit parallèle à (OI), puis donne une équation de (D). 2. Détermine \( m \) pour que (D) soit parallèle à(OJ), puis donne une équation de (D). 3. Détermine \( m \) pour que (D) passe par le point O , puis donne une équation de (D).

1. Pour que \((D)\) soit parallèle à \((OI)\) (la droite passant par \( O \) et \( I \) et horizontale), il faut que l'équation de \((D)\) ne contienne pas de terme en \( x \). Ceci impose \[ m = 0. \] En remplaçant dans l'équation \( m x + (m+2)y = 2-m \), on obtient \[ 0 \cdot x + (0+2)y = 2-0 \quad\Longrightarrow\quad 2y = 2, \] d'où \[ y = 1. \] 2. Pour que \((D)\) soit parallèle à \((OJ)\) (la droite passant par \( O \) et \( J \) et verticale), il faut que l'équation de \((D)\) ne contienne pas de terme en \( y \). Ceci impose \[ m+2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = -2. \] En remplaçant dans l'équation \( m x + (m+2)y = 2-m \), on obtient \[ -2x + 0\cdot y = 2-(-2) \quad\Longrightarrow\quad -2x = 4, \] d'où \[ x = -2. \] 3. Pour que \((D)\) passe par le point \(O\) (l'origine \((0,0)\)), on remplace \( x = 0 \) et \( y = 0 \) dans l'équation : \[ m \cdot 0 + (m+2) \cdot 0 = 2-m \quad\Longrightarrow\quad 0 = 2-m. \] D'où \[ m = 2. \] En remplaçant dans l'équation initiale, on obtient \[ 2x + (2+2)y = 2-2 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 4y = 0, \] que l'on peut simplifier en \[ x + 2y = 0. \]