Jika a dan b bilangan bulat sehingga $$ \sqrt{2021+2 \sqrt{2020}} $$ merupakan solusi kuadrat $$ x^{2}+a x+b=0 $$, maka nilai b-a adalah ...

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pertama, kita perhatikan ekspresi di dalam akar:

$$
\sqrt{2021+2\sqrt{2020}}
$$

Kita coba menuliskannya dalam bentuk kuadrat sempurna. Perhatikan bahwa

$$
\left( \sqrt{2020}+1 \right)^2 = 2020 + 2\sqrt{2020} + 1 = 2021+2\sqrt{2020}.
$$

Sehingga

$$
\sqrt{2021+2\sqrt{2020}} = \sqrt{ \left( \sqrt{2020}+1 \right)^2 } = \sqrt{2020}+1.
$$

Misalkan $$ x_1 = \sqrt{2020}+1 $$ adalah salah satu solusi kuadrat dari persamaan

$$
x^2+ax+b=0.
$$

Karena $$ a $$ dan $$ b $$ bilangan bulat, maka solusi lainnya haruslah konjugat aljabar dari $$ x_1 $$, yaitu

$$
x_2 = 1-\sqrt{2020}.
$$

Menggunakan hubungan antara akar dan koefisien pada persamaan kuadrat $$ x^2+ax+b=0 $$:

1. Jumlah akar:

$$
x_1+x_2 = -a.
$$

2. Hasil kali akar:

$$
x_1 \cdot x_2 = b.
$$

Kita hitung jumlah dan hasil kali:

$$
x_1+x_2 = (\sqrt{2020}+1) + (1-\sqrt{2020}) = 2,
$$
$$
x_1\cdot x_2 = (\sqrt{2020}+1)(1-\sqrt{2020}) = 1 - 2020 = -2019.
$$

Jadi,

$$
-a = 2 \quad \text{sehingga} \quad a=-2,
$$
$$
b = -2019.
$$

Nilai yang ditanyakan adalah $$ b - a $$:

$$
b-a = (-2019) - (-2) = -2019+2 = -2017.
$$
$$ b - a = -2017 $$

Jika a dan b bilangan bulat sehingga
merupakan solusi
kuadrat , maka nilai
b-a adalah …