\( \quad \) ar \( \quad(x)=x^{2}+3 x-5 \) y \( g(x)=x^{2}+5 x-2 \) \( H^{\prime}(x)=F^{\prime}(x) \cdot g(x)+F(x) \cdot g^{\prime}(x) \)

Para encontrar la derivada de la función \( H(x) \) dada por \( H(x) = F(x) \cdot g(x) \), primero necesitamos encontrar las derivadas de las funciones \( F(x) \) y \( g(x) \). Dado que \( F(x) = x^{2} + 3x - 5 \) y \( g(x) = x^{2} + 5x - 2 \), podemos encontrar sus derivadas: \( F'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 3x - 5) = 2x + 3 \) \( g'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 5x - 2) = 2x + 5 \) Ahora, podemos encontrar la derivada de \( H(x) \) utilizando la fórmula dada: \( H'(x) = F'(x) \cdot g(x) + F(x) \cdot g'(x) \) Sustituyendo las derivadas encontradas: \( H'(x) = (2x + 3) \cdot (x^{2} + 5x - 2) + (x^{2} + 3x - 5) \cdot (2x + 5) \) Ahora, podemos simplificar esta expresión para encontrar la derivada de \( H(x) \). Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(\left(2x+3\right)\left(x^{2}+5x-2\right)+\left(x^{2}+3x-5\right)\left(2x+5\right)\) - step1: Expand the expression: \(2x^{3}+13x^{2}+11x-6+\left(x^{2}+3x-5\right)\left(2x+5\right)\) - step2: Expand the expression: \(2x^{3}+13x^{2}+11x-6+2x^{3}+11x^{2}+5x-25\) - step3: Add the terms: \(4x^{3}+24x^{2}+16x-31\) La derivada de la función \( H(x) \) es \( 4x^{3} + 24x^{2} + 16x - 31 \).