En una investigación de laboratorio se comprobr' que "t" minutos después de introducir un bactericida en un cultivo de bacterias, el número de bacterias sobrevivientes está dado por la expresión \[ N(t)=\frac{3200}{1+t^{2}}+400 \] ¿Cuántas bacterias se tenian inicialmente en el cultivo? ¿Qué tiempo debe transcurrir para que el número de bacterias sea inferior a 800 ?

1. Para encontrar el número inicial de bacterias, evaluamos la función en \( t=0 \): \[ N(0)=\frac{3200}{1+0^2}+400=\frac{3200}{1}+400=3200+400=3600. \] Por lo tanto, inicialmente había 3600 bacterias. 2. Para determinar el tiempo \( t \) para que el número de bacterias sea inferior a 800, planteamos la inecuación: \[ \frac{3200}{1+t^2}+400<800. \] Restamos 400 a ambos lados: \[ \frac{3200}{1+t^2}<400. \] Multiplicamos ambos lados por \( 1+t^2 \) (nuevo factor positivo para \( t^2+1>0 \)): \[ 3200 < 400(1+t^2). \] Dividimos ambos lados entre 400: \[ 8 < 1+t^2. \] Restamos 1: \[ t^2 > 7. \] Como \( t \) representa un tiempo y debe ser no negativo, tomamos la raíz cuadrada: \[ t>\sqrt{7}. \] Aproximadamente, \(\sqrt{7}\approx 2.65\). Por lo tanto, el número de bacterias será inferior a 800 minutos después de introducir el bactericida si han transcurrido más de aproximadamente \( 2.65 \) minutos.