En una investigación de laboratorio se comprobr' que "t" minutos después de introducir un bactericida en un cultivo de bacterias, el número de bacterias sobrevivientes está dado por la expresión \[ N(t)=\frac{3200}{1+t^{2}}+400 \] ¿Cuántas bacterias se tenian inicialmente en el cultivo? ¿Qué tiempo debe transcurrir para que el número de bacterias sea inferior a 800 ?

Para determinar cuántas bacterias había inicialmente en el cultivo, evaluamos la función \( N(t) \) en \( t = 0 \): \[ N(0) = \frac{3200}{1+0^{2}} + 400 = \frac{3200}{1} + 400 = 3200 + 400 = 3600 \] Por lo tanto, se tenían inicialmente 3600 bacterias en el cultivo. Ahora, queremos encontrar el tiempo \( t \) en el cual el número de bacterias se vuelve inferior a 800: \[ N(t) < 800 \Rightarrow \frac{3200}{1+t^{2}} + 400 < 800 \] Restamos 400 de ambos lados: \[ \frac{3200}{1+t^{2}} < 400 \] Multiplicamos ambos lados por \( 1+t^{2} \) (notando que es positivo): \[ 3200 < 400(1+t^{2}) \Rightarrow 3200 < 400 + 400t^{2} \] Restamos 400 de ambos lados: \[ 2800 < 400t^{2} \] Dividimos entre 400: \[ 7 < t^{2} \] Ahora tomamos la raíz cuadrada: \[ t > \sqrt{7} \approx 2.645 \] Por lo tanto, debe transcurrir aproximadamente 2.645 minutos para que el número de bacterias sea inferior a 800.