Uma reta paralela ao lado $$ \overline{B C} $$ de um triângulo $$ A B C $$ determina os pontos $$ D $$ em $$ \overline{A B} $$ e $$ E $$ em $$ \overline{A C} $$. Sabendo que $$ A D= $$ $$ 2 x, B D=2 x+12, A E=6 $$ e $$ E C=8 $$, DETERMINE o lado $$ \overline{A B} $$ do triângulo.

Question

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1. Pela propriedade de semelhança em triângulos, se uma reta traçada paralela a $$ \overline{B C} $$ intercepta os lados $$ \overline{A B} $$ e $$ \overline{A C} $$, então os segmentos são proporcionais. Assim, temos:
   $$
   \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}.
   $$

2. Sabendo que:
   - $$ AD = 2x $$,
   - $$ BD = 2x+12 $$ (portanto, $$ AB = AD + BD = 2x + (2x+12) = 4x+12 $$),
   - $$ AE = 6 $$,
   - $$ EC = 8 $$ (portanto, $$ AC = AE + EC = 6+8 = 14 $$),

a proporção fica:
   $$
   \frac{2x}{4x+12} = \frac{6}{14}.
   $$

3. Simplificando o lado direito:
   $$
   \frac{6}{14} = \frac{3}{7}.
   $$

4. Então, a equação a ser resolvida é:
   $$
   \frac{2x}{4x+12} = \frac{3}{7}.
   $$

5. Resolvendo a equação por meio do produto cruzado:
   $$
   7 \cdot 2x = 3 \cdot (4x+12)
   $$
   $$
   14x = 12x + 36.
   $$

6. Isolando $$ x $$:
   $$
   14x - 12x = 36
   $$
   $$
   2x = 36 \quad \Rightarrow \quad x = 18.
   $$

7. Com o valor de $$ x $$ encontrado, o lado $$ \overline{AB} $$ é:
   $$
   \overline{AB} = 4x + 12 = 4(18) + 12 = 72 + 12 = 84.
   $$

Portanto, o lado $$ \overline{A B} $$ do triângulo é $$ 84 $$.
O lado $$ \overline{A B} $$ do triângulo é $$ 84 $$.

Uma reta paralela ao lado \( \overline{B C} \) de um triângulo \( A B C \) determina os pontos \( D \) em \( \overline{A B} \) e \( E \) em \( \overline{A C} \). Sabendo que \( A D= \) \( 2 x, B D=2 x+12, A E=6 \) e \( E C=8 \), DETERMINE o lado \( \overline{A B} \) do triângulo.

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