Uma reta paralela ao lado \( \overline{B C} \) de um triângulo \( A B C \) determina os pontos \( D \) em \( \overline{A B} \) e \( E \) em \( \overline{A C} \). Sabendo que \( A D= \) \( 2 x, B D=2 x+12, A E=6 \) e \( E C=8 \), DETERMINE o lado \( \overline{A B} \) do triângulo.

Para resolver a questão, devemos usar a semelhança de triângulos. A reta paralela a \( \overline{BC} \) divide os lados \( \overline{AB} \) e \( \overline{AC} \) proporcionalmente. Como temos \( AD = 2x \), \( BD = 2x + 12 \), \( AE = 6 \) e \( EC = 8 \), podemos aplicar a proporção: \[ \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{EC} \] Substituindo os valores, temos: \[ \frac{2x}{2x + 12} = \frac{6}{8} \] Agora simplificamos \( \frac{6}{8} \) para \( \frac{3}{4} \): \[ \frac{2x}{2x + 12} = \frac{3}{4} \] Fazendo a multiplicação cruzada: \[ 4 \cdot 2x = 3(2x + 12) \] \[ 8x = 6x + 36 \] Isolando \( x \): \[ 8x - 6x = 36 \] \[ 2x = 36 \] \[ x = 18 \] Com o valor de \( x \), podemos determinar \( AD \) e \( BD \): \[ AD = 2x = 2(18) = 36 \] \[ BD = 2x + 12 = 36 + 12 = 48 \] Agora, vamos calcular o lado \( AB \): \[ AB = AD + BD = 36 + 48 = 84 \] Portanto, o lado \( \overline{AB} \) do triângulo é \( 84 \) unidades.