Question
Determine ecuaciones de los círculos osculadores de la elipse
en los puntos
Ask by Huang Reyes. in Mexico
Mar 16,2025
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Las ecuaciones de los círculos osculadores de la elipse
en los puntos
y
son:
- En
: El círculo osculador es vertical. - En
:
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Beyond the Answer
Para determinar las ecuaciones de los círculos osculadores de la elipse
en los puntos
y
, primero debemos reorganizar la ecuación de la elipse:
La elipse tiene semi-ejes de longitud 3 en el eje
y 2 en el eje
. El círculo osculador es aquel que tiene la misma curvatura que la elipse en un punto dado.
-
En el punto
: Este es un extremo del semi-eje mayor. La curvatura en este punto se calcula como , donde es el radio de curvatura que, en este caso, es 0 (la elipse tiene un “codo” aquí). Por lo tanto, el círculo osculador es un círculo de radio infinito, lo que significa que la ecuación es simplemente una línea en . -
En el punto
: Este es un extremo del semi-eje menor. Aquí, calculamos la curvatura de la elipse usando una fórmula que involucra sus semi-ejes:
Con
y
, calculamos la curvatura para
:
Esto significa que en
el radio de curvatura se vuelve infinito, así que el círculo osculador aquí también es una línea vertical en
.
Así que resumidamente, las ecuaciones de los círculos osculadores son:
- Para
: (una línea vertical). - Para
: (una línea horizontal).