Determine ecuaciones de los círculos osculadores de la elipse \( 4 x^{2}+9 y^{2}=36 \) en los puntos \( (3,0) y(0,2) \) \( (3,0) \) \( (0,2) \)

Para determinar las ecuaciones de los círculos osculadores de la elipse \( 4x^{2} + 9y^{2} = 36 \) en los puntos \( (3,0) \) y \( (0,2) \), primero debemos reorganizar la ecuación de la elipse: \[ \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \] La elipse tiene semi-ejes de longitud 3 en el eje \( x \) y 2 en el eje \( y \). El círculo osculador es aquel que tiene la misma curvatura que la elipse en un punto dado. 1. En el punto \( (3,0) \): Este es un extremo del semi-eje mayor. La curvatura \( K \) en este punto se calcula como \( K = \frac{1}{R} \), donde \( R \) es el radio de curvatura que, en este caso, es 0 (la elipse tiene un "codo" aquí). Por lo tanto, el círculo osculador es un círculo de radio infinito, lo que significa que la ecuación es simplemente una línea en \( x = 3 \). 2. En el punto \( (0,2) \): Este es un extremo del semi-eje menor. Aquí, calculamos la curvatura de la elipse usando una fórmula que involucra sus semi-ejes: \[ K = \frac{b^2}{a^2} \frac{1}{b^2 - y^2} \] Con \( a = 3 \) y \( b = 2 \), calculamos la curvatura para \( y = 2 \): \[ K = \frac{2^2}{3^2} \frac{1}{2^2 - 2^2} \to \text{no se puede calcular porque se divide por cero}. \] Esto significa que en \( (0,2) \) el radio de curvatura se vuelve infinito, así que el círculo osculador aquí también es una línea vertical en \( y = 2 \). Así que resumidamente, las ecuaciones de los círculos osculadores son: - Para \( (3,0) \): \( x = 3 \) (una línea vertical). - Para \( (0,2) \): \( y = 2 \) (una línea horizontal).