Determine ecuaciones de los círculos osculadores de la elipse en los puntos

Ask by Huang Reyes. in Mexico

Mar 16,2025

Question

Determine ecuaciones de los círculos osculadores de la elipse $$ 4 x^{2}+9 y^{2}=36 $$ en los puntos $$ (3,0) y(0,2) $$ $$ (3,0) $$ $$ (0,2) $$

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Para determinar las ecuaciones de los círculos osculadores de la elipse $$ 4x^{2} + 9y^{2} = 36 $$ en los puntos $$ (3,0) $$ y $$ (0,2) $$, seguiremos los siguientes pasos:

1. **Identificar la elipse**: La ecuación de la elipse se puede reescribir en su forma estándar dividiendo por 36:
   $$
   \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1
   $$
   Esto indica que la elipse tiene semi-ejes $$ a = 3 $$ y $$ b = 2 $$.

2. **Encontrar la derivada**: Para encontrar la pendiente de la tangente en un punto dado, necesitamos derivar implícitamente la ecuación de la elipse. Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a $$ x $$:
   $$
   \frac{d}{dx}\left(4x^{2} + 9y^{2}\right) = \frac{d}{dx}(36)
   $$
   Esto nos da:
   $$
   8x + 18y \frac{dy}{dx} = 0
   $$
   De aquí, podemos despejar $$ \frac{dy}{dx} $$:
   $$
   \frac{dy}{dx} = -\frac{8x}{18y} = -\frac{4x}{9y}
   $$

3. **Evaluar la derivada en los puntos dados**:
   - Para el punto $$ (3,0) $$:
     $$
     \frac{dy}{dx} \bigg|_{(3,0)} = -\frac{4(3)}{9(0)} \quad \text{(indeterminado, la tangente es vertical)}
     $$
   - Para el punto $$ (0,2) $$:
     $$
     \frac{dy}{dx} \bigg|_{(0,2)} = -\frac{4(0)}{9(2)} = 0 \quad \text{(la tangente es horizontal)}
     $$

4. **Encontrar el radio de curvatura**: El radio de curvatura $$ R $$ en un punto de la elipse se puede calcular usando la fórmula:
   $$
   R = \frac{(1 + (y')^2)^{3/2}}{|y''|}
   $$
   Donde $$ y' = \frac{dy}{dx} $$ y $$ y'' $$ se puede calcular a partir de la derivada de $$ y' $$.

5. **Calcular $$ y'' $$**: Para calcular $$ y'' $$, derivamos $$ y' $$ con respecto a $$ x $$:
   $$
   y'' = \frac{d}{dx}\left(-\frac{4x}{9y}\right)
   $$
   Usando la regla del cociente:
   $$
   y'' = -\frac{(9y)(4) - (4x)(9\frac{dy}{dx})}{(9y)^{2}} = -\frac{36y - 36x\frac{4x}{9y}}{81y^{2}}
   $$

6. **Evaluar $$ y'' $$ en los puntos dados**:
   - Para $$ (3,0) $$, $$ y'' $$ se vuelve complicado debido a que $$ y = 0 $$.
   - Para $$ (0,2) $$:
     $$
     y'' = -\frac{36(2)}{81(2)^{2}} = -\frac{72}{324} = -\frac{2}{9}
     $$

7. **Calcular el radio de curvatura en $$ (0,2) $$**:
   $$
   R = \frac{(1 + 0)^{3/2}}{\left| -\frac{2}{9} \right|} = \frac{1}{\frac{2}{9}} = \frac{9}{2}
   $$

8. **Ecuaciones de los círculos osculadores**:
   - Para el punto $$ (3,0) $$: El círculo osculador es vertical, por lo que su ecuación es:
     $$
     (x - 3)^{2} + (y - r)^{2} = R^{2}
     $$
     Donde $$ r $$ es el radio de curvatura (indeterminado aquí).
   - Para el punto $$ (0,2) $$:
     $$
     (x - 0)^{2} + (y - 2)^{2} = \left(\frac{9}{2}\right)^{2} = \frac{81}{4}
     $$

Finalmente, las ecuaciones de los círculos osculadores son:
- Para $$ (3,0) $$: Indeterminado (vertical).
- Para $$ (0,2) $$: 
$$
x^{2} + (y - 2)^{2} = \frac{81}{4}
$$
Las ecuaciones de los círculos osculadores de la elipse $$ 4x^{2} + 9y^{2} = 36 $$ en los puntos $$ (3,0) $$ y $$ (0,2) $$ son: - En $$ (3,0) $$: El círculo osculador es vertical. - En $$ (0,2) $$: $$ x^{2} + (y - 2)^{2} = \frac{81}{4} $$

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