82 Nel trapezio rettangolo $$ A B C D $$ il lato obliquo $$ B C $$ forma un angolo di $$ 30^{\circ} $$ con la base maggiore $$ A B $$ e la diagonale $$ A C $$ è perpendicolare a $$ B C $$. Calcola il perimetro e l'area del trapezio, sapen- do che la sua altezza è 10 cm . $$ \left[58,9 \mathrm{~cm}_{14}, 3 \mathrm{~cm}^{2}\right] $$

Question

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Per risolvere il problema del trapezio rettangolo $$ ABCD $$, seguiamo i seguenti passi:

### Dati noti:
- Altezza $$ h = 10 \, \text{cm} $$
- Angolo $$ \angle ABC = 30^{\circ} $$

### Passo 1: Calcolare la lunghezza del lato obliquo $$ BC $$
Utilizziamo la definizione di seno in un triangolo rettangolo. Sappiamo che:

$$
\sin(30^{\circ}) = \frac{h}{BC}
$$

Da cui possiamo ricavare $$ BC $$:

$$
BC = \frac{h}{\sin(30^{\circ})} = \frac{10}{0.5} = 20 \, \text{cm}
$$

### Passo 2: Calcolare la lunghezza della base minore $$ CD $$
Utilizziamo la definizione di coseno:

$$
\cos(30^{\circ}) = \frac{CD}{BC}
$$

Da cui possiamo ricavare $$ CD $$:

$$
CD = BC \cdot \cos(30^{\circ}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, \text{cm}
$$

### Passo 3: Calcolare la lunghezza della base maggiore $$ AB $$
Poiché $$ AC $$ è perpendicolare a $$ BC $$, possiamo utilizzare il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo $$ ABC $$:

$$
AB = CD + 2 \cdot h \cdot \tan(30^{\circ})
$$

Calcoliamo $$ \tan(30^{\circ}) $$:

$$
\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}
$$

Quindi:

$$
AB = 10\sqrt{3} + 2 \cdot 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} + \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 20}{\sqrt{3}} = \frac{30 + 20}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \, \text{cm}
$$

### Passo 4: Calcolare il perimetro del trapezio
Il perimetro $$ P $$ del trapezio è dato dalla somma delle lunghezze dei lati:

$$
P = AB + BC + CD + AD
$$

Dove $$ AD = h = 10 \, \text{cm} $$. Quindi:

$$
P = \frac{50}{\sqrt{3}} + 20 + 10\sqrt{3} + 10
$$

### Passo 5: Calcolare l'area del trapezio
L'area $$ A $$ del trapezio è data dalla formula:

$$
A = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
$$

### Calcoli finali
Ora calcoliamo il perimetro e l'area utilizzando i valori trovati.

Procediamo con i calcoli finali.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{50}{\sqrt{3}}+20+10\sqrt{3}+10$$
- step1: Add the numbers:
  $$\frac{50}{\sqrt{3}}+30+10\sqrt{3}$$
- step2: Reduce fractions to a common denominator:
  $$\frac{50}{\sqrt{3}}+\frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\frac{10\sqrt{3}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$
- step3: Transform the expression:
  $$\frac{50+30\sqrt{3}+10\sqrt{3}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$
- step4: Multiply the terms:
  $$\frac{50+30\sqrt{3}+30}{\sqrt{3}}$$
- step5: Add the numbers:
  $$\frac{80+30\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$
- step6: Multiply by the Conjugate:
  $$\frac{\left(80+30\sqrt{3}\right)\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}$$
- step7: Multiply the numbers:
  $$\frac{80\sqrt{3}+90}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}$$
- step8: Multiply the numbers:
  $$\frac{80\sqrt{3}+90}{3}$$
Calculate or simplify the expression $$ ((50/\sqrt(3) + 10*\sqrt(3)) * 10) / 2 $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\left(\left(\frac{50}{\sqrt{3}}+10\sqrt{3}\right)\times 10\right)}{2}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{\left(\frac{50}{\sqrt{3}}+10\sqrt{3}\right)\times 10}{2}$$
- step2: Add the numbers:
  $$\frac{\frac{80\sqrt{3}}{3}\times 10}{2}$$
- step3: Multiply the numbers:
  $$\frac{\frac{800\sqrt{3}}{3}}{2}$$
- step4: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{800\sqrt{3}}{3}\times \frac{1}{2}$$
- step5: Reduce the numbers:
  $$\frac{400\sqrt{3}}{3}\times 1$$
- step6: Multiply:
  $$\frac{400\sqrt{3}}{3}$$
### Risultati finali

1. **Perimetro del trapezio**:
   $$
   P \approx 76.19 \, \text{cm}
   $$

2. **Area del trapezio**:
   $$
   A \approx 230.94 \, \text{cm}^2
   $$

### Risultati conclusivi
- **Perimetro**: $$ \approx 76.19 \, \text{cm} $$
- **Area**: $$ \approx 230.94 \, \text{cm}^2 $$

Quindi, il perimetro del trapezio è circa $$ 76.19 \, \text{cm} $$ e l'area è circa $$ 230.94 \, \text{cm}^2 $$.
Il trapezio rettangolo $$ ABCD $$ ha un perimetro di circa $$ 76.19 \, \text{cm} $$ e un'area di circa $$ 230.94 \, \text{cm}^2 $$.

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