82 Nel trapezio rettangolo \( A B C D \) il lato obliquo \( B C \) forma un angolo di \( 30^{\circ} \) con la base maggiore \( A B \) e la diagonale \( A C \) è perpendicolare a \( B C \). Calcola il perimetro e l'area del trapezio, sapen- do che la sua altezza è 10 cm . \( \left[58,9 \mathrm{~cm}_{14}, 3 \mathrm{~cm}^{2}\right] \)

Per risolvere il problema del trapezio rettangolo \( ABCD \), seguiamo i seguenti passi: ### Dati noti: - Altezza \( h = 10 \, \text{cm} \) - Angolo \( \angle ABC = 30^{\circ} \) ### Passo 1: Calcolare la lunghezza del lato obliquo \( BC \) Utilizziamo la definizione di seno in un triangolo rettangolo. Sappiamo che: \[ \sin(30^{\circ}) = \frac{h}{BC} \] Da cui possiamo ricavare \( BC \): \[ BC = \frac{h}{\sin(30^{\circ})} = \frac{10}{0.5} = 20 \, \text{cm} \] ### Passo 2: Calcolare la lunghezza della base minore \( CD \) Utilizziamo la definizione di coseno: \[ \cos(30^{\circ}) = \frac{CD}{BC} \] Da cui possiamo ricavare \( CD \): \[ CD = BC \cdot \cos(30^{\circ}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, \text{cm} \] ### Passo 3: Calcolare la lunghezza della base maggiore \( AB \) Poiché \( AC \) è perpendicolare a \( BC \), possiamo utilizzare il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo \( ABC \): \[ AB = CD + 2 \cdot h \cdot \tan(30^{\circ}) \] Calcoliamo \( \tan(30^{\circ}) \): \[ \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Quindi: \[ AB = 10\sqrt{3} + 2 \cdot 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} + \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 20}{\sqrt{3}} = \frac{30 + 20}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \, \text{cm} \] ### Passo 4: Calcolare il perimetro del trapezio Il perimetro \( P \) del trapezio è dato dalla somma delle lunghezze dei lati: \[ P = AB + BC + CD + AD \] Dove \( AD = h = 10 \, \text{cm} \). Quindi: \[ P = \frac{50}{\sqrt{3}} + 20 + 10\sqrt{3} + 10 \] ### Passo 5: Calcolare l'area del trapezio L'area \( A \) del trapezio è data dalla formula: \[ A = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} \] ### Calcoli finali Ora calcoliamo il perimetro e l'area utilizzando i valori trovati. Procediamo con i calcoli finali. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{50}{\sqrt{3}}+20+10\sqrt{3}+10\) - step1: Add the numbers: \(\frac{50}{\sqrt{3}}+30+10\sqrt{3}\) - step2: Reduce fractions to a common denominator: \(\frac{50}{\sqrt{3}}+\frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\frac{10\sqrt{3}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) - step3: Transform the expression: \(\frac{50+30\sqrt{3}+10\sqrt{3}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) - step4: Multiply the terms: \(\frac{50+30\sqrt{3}+30}{\sqrt{3}}\) - step5: Add the numbers: \(\frac{80+30\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) - step6: Multiply by the Conjugate: \(\frac{\left(80+30\sqrt{3}\right)\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}\) - step7: Multiply the numbers: \(\frac{80\sqrt{3}+90}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}\) - step8: Multiply the numbers: \(\frac{80\sqrt{3}+90}{3}\) Calculate or simplify the expression \( ((50/\sqrt(3) + 10*\sqrt(3)) * 10) / 2 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{\left(\left(\frac{50}{\sqrt{3}}+10\sqrt{3}\right)\times 10\right)}{2}\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{\left(\frac{50}{\sqrt{3}}+10\sqrt{3}\right)\times 10}{2}\) - step2: Add the numbers: \(\frac{\frac{80\sqrt{3}}{3}\times 10}{2}\) - step3: Multiply the numbers: \(\frac{\frac{800\sqrt{3}}{3}}{2}\) - step4: Multiply by the reciprocal: \(\frac{800\sqrt{3}}{3}\times \frac{1}{2}\) - step5: Reduce the numbers: \(\frac{400\sqrt{3}}{3}\times 1\) - step6: Multiply: \(\frac{400\sqrt{3}}{3}\) ### Risultati finali 1. **Perimetro del trapezio**: \[ P \approx 76.19 \, \text{cm} \] 2. **Area del trapezio**: \[ A \approx 230.94 \, \text{cm}^2 \] ### Risultati conclusivi - **Perimetro**: \( \approx 76.19 \, \text{cm} \) - **Area**: \( \approx 230.94 \, \text{cm}^2 \) Quindi, il perimetro del trapezio è circa \( 76.19 \, \text{cm} \) e l'area è circa \( 230.94 \, \text{cm}^2 \).