2. Zapiši enačbo hiperbole, če sta njeni asimptoti premici $$ y= \pm 2 x $$ in ima eno od temen v točki $$ A(0,4) $$. Hiperbolo tudi nariši ter zapiši koordinate gorišč.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**1. Določitev centra hiperbole**  
Asimptoti hiperbole sta dane kot  
$$
y=\pm 2x.
$$  
Pri hiperboli s centrom $$ (h,k) $$ asimptoti vedno prečkajo center. Ker sta asimptoti podani kot enostavni premici brez premika, je center  
$$
(0,0).
$$

**2. Izbira oblike hiperbole**  
Obstajata dve standardni obliki hiperbole s centrom v izvoru:
- Horizontalna hiperbola:  
  $$
  \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,
  $$  
  pri kateri so asimptoti  
  $$
  y=\pm \frac{b}{a}x.
  $$

- Vertikalna hiperbola:  
  $$
  \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1,
  $$  
  pri kateri so asimptoti  
  $$
  y=\pm \frac{a}{b}x.
  $$

Ker je podana ena od temen $$ A(0,4) $$, in ker ima vertikalna hiperbola vrhove na $$ (0,\pm a) $$, sledi, da se hiperbola odpira navzgor in navzdol, ter je oblika  
$$
\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1.
$$

**3. Povezava med asimptotama in parametri hiperbole**  
Za vertikalno hiperbolo so asimptoti  
$$
y=\pm \frac{a}{b}x.
$$  
Ker so dane asimptoti $$ y=\pm 2x $$, dobimo  
$$
\frac{a}{b}=2 \quad \Longrightarrow \quad b=\frac{a}{2}.
$$

**4. Ugotavljanje vrednosti $$ a $$ na podlagi temena**  
Vrhovi vertikalne hiperbole so na točkah  
$$
(0,\pm a).
$$  
Podano je, da hiperbola vsebuje temen $$ A(0,4) $$. To pomeni, da je  
$$
a=4.
$$

**5. Izračun $$ b $$ in zapis enačbe**  
Iz relacije $$ b=\frac{a}{2} $$ s $$ a=4 $$ dobimo  
$$
b=\frac{4}{2}=2.
$$  
Torej je enačba hiperbole  
$$
\frac{y^2}{4^2} - \frac{x^2}{2^2} = 1 \quad \text{ali} \quad \frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1.
$$

**6. Izračun koordinat gorišč**  
Pri hiperboli velja  
$$
c^2=a^2+b^2.
$$  
Torej je  
$$
c^2=4^2+2^2=16+4=20 \quad \Longrightarrow \quad c=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
$$  
Ker je hiperbola navpična, so gorišča na osi $$ y $$ in imajo koordinate  
$$
(0,c) \quad \text{in} \quad (0,-c),
$$  
torej  
$$
(0,2\sqrt{5}) \quad \text{in} \quad (0,-2\sqrt{5}).
$$

**7. Risba hiperbole**  
- Center: $$ (0,0) $$.  
- Vrhovi: $$ (0,4) $$ in $$ (0,-4) $$.  
- Asimptoti: premici $$ y=2x $$ in $$ y=-2x $$.  
- Gorišča: $$ (0,2\sqrt{5}) $$ in $$ (0,-2\sqrt{5}) $$.

Na risbi hiperbola:  
- Narišemo koordinatni sistem z označenim izvorom.  
- Narišemo premici $$ y=2x $$ in $$ y=-2x $$, ki se sekajo v izvoru.  
- Označimo vrhove $$ (0,4) $$ in $$ (0,-4) $$.  
- Krivulji hiperbole se približata asimptotama, a se njimi ne sekajo.

**Končni odgovor:**  
- Enačba hiperbole:  
  $$
  \frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1.
  $$  
- Koordinate gorišč:  
  $$
  (0,2\sqrt{5}) \quad \text{in} \quad (0,-2\sqrt{5}).
  $$
**Enačba hiperbole je** $$ \frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1 $$ **in gorišča so** $$ (0,2\sqrt{5}) \quad \text{in} \quad (0,-2\sqrt{5}). $$

2. Zapiši enačbo hiperbole, če sta njeni asimptoti premici \( y= \pm 2 x \) in ima eno od temen v točki \( A(0,4) \). Hiperbolo tudi nariši ter zapiši koordinate gorišč.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Pre Calculus Questions