Un triangolo equilatero ha l'altezza di \( 24 \cdot \sqrt{3} \mathrm{~cm} \). Calcola il perimetro e l'area del triangolo. [ \( \left.144 \mathrm{~cm} ; 576 \cdot \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\right] \)

Per risolvere il problema, iniziamo a estrarre le informazioni note: - L'altezza \( h \) del triangolo equilatero è \( 24 \cdot \sqrt{3} \) cm. ### Passo 1: Calcolare il lato del triangolo In un triangolo equilatero, l'altezza \( h \) è data dalla formula: \[ h = \frac{l \cdot \sqrt{3}}{2} \] dove \( l \) è la lunghezza del lato del triangolo. Possiamo risolvere per \( l \): \[ l = \frac{2h}{\sqrt{3}} \] Sostituiamo \( h \) con \( 24 \cdot \sqrt{3} \): \[ l = \frac{2 \cdot (24 \cdot \sqrt{3})}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 24 = 48 \text{ cm} \] ### Passo 2: Calcolare il perimetro Il perimetro \( P \) di un triangolo equilatero è dato da: \[ P = 3l \] Sostituiamo \( l \): \[ P = 3 \cdot 48 = 144 \text{ cm} \] ### Passo 3: Calcolare l'area L'area \( A \) di un triangolo equilatero è data dalla formula: \[ A = \frac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \] Sostituiamo \( l \): \[ A = \frac{48^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{2304 \cdot \sqrt{3}}{4} = 576 \cdot \sqrt{3} \text{ cm}^2 \] ### Risultati finali - Perimetro: \( 144 \) cm - Area: \( 576 \cdot \sqrt{3} \) cm² Quindi, i risultati sono confermati come \( 144 \) cm per il perimetro e \( 576 \cdot \sqrt{3} \) cm² per l'area.