Una empresa desea calcular la variación de precios de tres productos en diferentes meses. La matriz P representa el precio de los productos en enero, febrero y marzo: \( P=\left(\begin{array}{lll}2 & 5 & 7 \\ 1 & 3 & 4 \\ 6 & 8 & 9\end{array}\right) \) ¿Cuál es el determinante de la matriz P, que representa la relación de cambios en los precios?

Sea la matriz \[ P=\begin{pmatrix}2 & 5 & 7 \\ 1 & 3 & 4 \\ 6 & 8 & 9\end{pmatrix} \] Para calcular su determinante, usamos la fórmula para una matriz \(3 \times 3\): \[ \det(P)=a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \] donde \[ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 5 & 7 \\ 1 & 3 & 4 \\ 6 & 8 & 9\end{pmatrix}. \] Asignamos: \[ a=2,\; b=5,\; c=7,\; d=1,\; e=3,\; f=4,\; g=6,\; h=8,\; i=9. \] Desarrollamos el determinante paso a paso: 1. Calcular \(ei - fh\): \[ ei - fh = 3\times9 - 4\times8 = 27 - 32 = -5. \] 2. Calcular \(di - fg\): \[ di - fg = 1\times9 - 4\times6 = 9 - 24 = -15. \] 3. Calcular \(dh - eg\): \[ dh - eg = 1\times8 - 3\times6 = 8 - 18 = -10. \] 4. Sustituir en la fórmula del determinante: \[ \det(P)=2(-5) - 5(-15) + 7(-10). \] 5. Realizar las operaciones: \[ 2(-5) = -10,\quad -5(-15)=75,\quad 7(-10)=-70. \] Sumamos: \[ \det(P)=-10+75-70=-5. \] Por lo tanto, el determinante de la matriz \(P\) es \[ \det(P)=-5. \]