Hitunglah nilai limit \( \lim \frac{4 x-\tan x}{x+\sin 2 x} \). A. -1 B. -1 C. \( \frac{1}{2} \) D. 1 E. 2

Untuk menghitung limit \( \lim_{x \to 0} \frac{4x - \tan x}{x + \sin 2x} \), kita dapat menggunakan pendekatan deret Taylor. Di sekitar \( x = 0 \), kita tahu bahwa: - \( \tan x \approx x + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \) - \( \sin 2x \approx 2x - \frac{(2x)^3}{6} + O(x^5) = 2x - \frac{8x^3}{6} + O(x^5) = 2x - \frac{4x^3}{3} + O(x^5) \) Dengan substitusi: \[ 4x - \tan x \approx 4x - \left(x + \frac{x^3}{3}\right) = 3x - \frac{x^3}{3} \] Dan untuk penyebut: \[ x + \sin 2x \approx x + \left(2x - \frac{4x^3}{3}\right) = 3x - \frac{4x^3}{3} \] Sekarang kita substitusi kembali ke dalam limit: \[ \lim_{x \to 0} \frac{3x - \frac{x^3}{3}}{3x - \frac{4x^3}{3}} \approx \lim_{x \to 0}\frac{3x(1 - \frac{x^2}{9})}{3x(1 - \frac{4x^2}{9})} \] Menyederhanakan: \[ = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{9}}{1 - \frac{4x^2}{9}} = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1 \] Jadi, nilai limit tersebut adalah \( 1 \). Jawabannya adalah D. 1.