Escribir la expresión como un logaritmo sencillo. \[ 2\left(\log _{8} x-5 \log _{8} w\right)+2 \log _{8} y \]

Para reescribir la expresión dada como un logaritmo sencillo, primero factorizamos el \(2\) y aplicamos las propiedades de los logaritmos. La expresión es: \[ 2\left(\log _{8} x - 5 \log _{8} w\right) + 2 \log_{8} y \] Podemos factorizar el \(2\): \[ 2\left(\log _{8} x - 5 \log _{8} w + \log_{8} y\right) \] Utilizando la propiedad de los logaritmos que dice que \(a \log_b c = \log_b(c^a)\), podemos expresar los términos dentro del paréntesis: \[ 2\left(\log _{8} \left(\frac{x \cdot y}{w^5}\right)\right) \] Aplicando la propiedad del logaritmo del producto y el logaritmo del cociente: \[ 2 \log _{8} \left(\frac{xy}{w^5}\right) = \log_{8} \left(\left(\frac{xy}{w^5}\right)^2\right) \] Así, la expresión simplificada como un logaritmo sencillo es: \[ \log_{8} \left(\frac{x^2 y^2}{w^{10}}\right) \]