4. Utilice los productos notables estudiados para hallar en cada expresión dada otra equi- valente a ella. a) \( (\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}) \) b) \( \left(a^{m}-b^{n}\right)\left(a^{m}+b^{n}\right) \) c) \( (x+y+1)(x-y-1) \) d) \( \left(2^{x}-3^{x}\right)\left(2^{x}+3^{x}\right) \) e) \( \left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{4}+y^{4}\right) \) f) \( \left(2 y^{2 / 5}-3 x^{2}\right)\left(2 y^{2 / 5}+3 x^{2}\right) \)

Para resolver cada una de las expresiones dadas utilizando productos notables, procederemos paso a paso. ### a) \( (\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}) \) Esta expresión es un caso del producto de la diferencia de cuadrados, que se expresa como: \[ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \] Aquí, \( a = \sqrt[3]{5} \) y \( b = \sqrt[3]{2} \). Entonces: \[ (\sqrt[3]{5})^2 - (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{5^2} - \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{4} \] ### b) \( \left(a^{m}-b^{n}\right)\left(a^{m}+b^{n}\right) \) De nuevo, aplicamos el producto de la diferencia de cuadrados: \[ (a^m - b^n)(a^m + b^n) = (a^m)^2 - (b^n)^2 = a^{2m} - b^{2n} \] ### c) \( (x+y+1)(x-y-1) \) Para esta expresión, utilizamos la propiedad distributiva (también conocida como el método FOIL): \[ (x+y+1)(x-y-1) = x(x-y-1) + y(x-y-1) + 1(x-y-1) \] Calculamos cada parte: 1. \( x(x-y-1) = x^2 - xy - x \) 2. \( y(x-y-1) = xy - y^2 - y \) 3. \( 1(x-y-1) = x - y - 1 \) Sumando todo: \[ x^2 - xy - x + xy - y^2 - y + x - y - 1 = x^2 - y^2 - 2y - 1 \] ### d) \( \left(2^{x}-3^{x}\right)\left(2^{x}+3^{x}\right) \) Aplicamos el producto de la diferencia de cuadrados: \[ (2^x - 3^x)(2^x + 3^x) = (2^x)^2 - (3^x)^2 = 2^{2x} - 3^{2x} \] ### e) \( \left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{4}+y^{4}\right) \) Primero, aplicamos el producto de la diferencia de cuadrados: \[ (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4 \] Luego, multiplicamos por \( (x^4 + y^4) \): \[ (x^4 - y^4)(x^4 + y^4) = (x^4)^2 - (y^4)^2 = x^8 - y^8 \] ### f) \( \left(2 y^{2 / 5}-3 x^{2}\right)\left(2 y^{2 / 5}+3 x^{2}\right) \) Aplicamos el producto de la diferencia de cuadrados: \[ (2y^{2/5} - 3x^2)(2y^{2/5} + 3x^2) = (2y^{2/5})^2 - (3x^2)^2 = 4y^{4/5} - 9x^4 \] ### Resumen de las respuestas: a) \( \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{4} \) b) \( a^{2m} - b^{2n} \) c) \( x^2 - y^2 - 2y - 1 \) d) \( 2^{2x} - 3^{2x} \) e) \( x^8 - y^8 \) f) \( 4y^{4/5} - 9x^4 \)