16 La disequazione \( \sqrt{x^{2}}-\frac{1}{2} \).

Consideriamo la disequazione \[ \sqrt{x^2} < x+1. \] Osserviamo innanzitutto che \[ \sqrt{x^2}=|x|. \] Pertanto la disequazione diventa \[ |x| < x+1. \] Analizziamo il problema per due casi: 1. **Caso \( x \geq 0 \):** In questo caso abbiamo \( |x| = x \). La disequazione diventa \[ x < x+1. \] Semplificando, si ottiene \[ 0 < 1, \] che è sempre vera per ogni \( x \geq 0 \). 2. **Caso \( x < 0 \):** In questo caso \( |x| = -x \). La disequazione diventa \[ -x < x+1. \] Aggiungendo \( x \) ad entrambi i membri, otteniamo \[ 0 < 2x+1. \] Risolvendo, abbiamo \[ 2x+1 > 0 \quad \Longrightarrow \quad 2x > -1 \quad \Longrightarrow \quad x > -\frac{1}{2}. \] Ricordando che in questo caso \( x < 0 \), la condizione combinata è \[ -\frac{1}{2} < x < 0. \] Unendo i due casi, la soluzione della disequazione è: - Per \( x < 0 \): \( -\frac{1}{2} < x < 0 \), - Per \( x \geq 0 \): tutti i valori sono soluzioni. Pertanto, la soluzione complessiva è \[ x > -\frac{1}{2}. \] Rispetto alle opzioni proposte, la risposta corretta è: (D) \( x > -\frac{1}{2} \).