16 Le plan est muni du repère $$ (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}) $$. On donne : A $$ (-2 ; 1) $$, $$ \mathrm{B}(2 ; 3) $$, $$ \mathrm{C}(2 ; 0), \mathrm{D}(-2 ;-2) $$. 1) Calcule le couple de coordonnées du milieu M du segment $$ [\mathrm{AC}] $$. 2) Calcule le couple de coordonnées du milieu P du segment [DB]. 3) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? 17 Le plan est muni du repère orthonormé $$ (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{)}) $$. On donne les points: $$ \mathrm{A}(-2 ; 3) $$, $$ \mathrm{B}(3 ; 1) $$ et $$ \mathrm{C}(0 ;-2) $$. 1) Calcule AB et AC . 2) Quelle est la nature du triangle ABC ?

Question

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**Exercice 16**

Le plan est muni du repère $$ (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}) $$ avec les points :
- $$ \mathrm{A}(-2 ; 1) $$
- $$ \mathrm{B}(2 ; 3) $$
- $$ \mathrm{C}(2 ; 0) $$
- $$ \mathrm{D}(-2 ; -2) $$

**1) Calcul des coordonnées du milieu $$ M $$ du segment $$ [\mathrm{AC}] $$**

Les coordonnées du milieu $$ M $$ de $$ [\mathrm{AC}] $$ se calculent à l'aide de la formule :
$$
M\left( \frac{x_{\mathrm{A}} + x_{\mathrm{C}}}{2} ; \frac{y_{\mathrm{A}} + y_{\mathrm{C}}}{2} \right)
$$

En remplaçant les valeurs :
$$
M\left( \frac{-2 + 2}{2} ; \frac{1 + 0}{2} \right) = M\left( 0 ; \frac{1}{2} \right)
$$

**Coordonnées de $$ M $$** : $$ M(0 ; \frac{1}{2}) $$

---

**2) Calcul des coordonnées du milieu $$ P $$ du segment $$ [\mathrm{DB}] $$**

De même, les coordonnées de $$ P $$ sont :
$$
P\left( \frac{x_{\mathrm{D}} + x_{\mathrm{B}}}{2} ; \frac{y_{\mathrm{D}} + y_{\mathrm{B}}}{2} \right)
$$

En remplaçant les valeurs :
$$
P\left( \frac{-2 + 2}{2} ; \frac{-2 + 3}{2} \right) = P\left( 0 ; \frac{1}{2} \right)
$$

**Coordonnées de $$ P $$** : $$ P(0 ; \frac{1}{2}) $$

---

**3) Nature du quadrilatère $$ \mathrm{ABCD} $$**

Analysons les côtés et les pentes des segments :

- **Longueurs des côtés** :
  - $$ \mathrm{AB} = \mathrm{CD} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5} $$
  - $$ \mathrm{BC} = \mathrm{DA} = \sqrt{(2 - 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{0 + 9} = 3 $$

- **Pentes des côtés** :
  - Pente de $$ \mathrm{AB} $$ et $$ \mathrm{CD} $$ : $$ \frac{3 - 1}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = 0,5 $$
  - Pente de $$ \mathrm{BC} $$ et $$ \mathrm{DA} $$ : Verticales (pente non définie)

Les côtés opposés sont égaux et parallèles. De plus, les angles ne sont pas droits (vérifié par produit scalaire).

**Conclusion** : $$ \mathrm{ABCD} $$ est un **parallélogramme**.

---

**Exercice 17**

Le plan est muni du repère orthonormé $$ (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}) $$ avec les points :
- $$ \mathrm{A}(-2 ; 3) $$
- $$ \mathrm{B}(3 ; 1) $$
- $$ \mathrm{C}(0 ; -2) $$

**1) Calcul des longueurs $$ \mathrm{AB} $$ et $$ \mathrm{AC} $$**

- **Longueur $$ \mathrm{AB} $$** :
  $$
  \mathrm{AB} = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}
  $$

- **Longueur $$ \mathrm{AC} $$** :
  $$
  \mathrm{AC} = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}
  $$

**2) Nature du triangle $$ \mathrm{ABC} $$**

Étant donné que $$ \mathrm{AB} = \mathrm{AC} = \sqrt{29} $$ et $$ \mathrm{BC} = \sqrt{(3 - 0)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} $$, le triangle possède deux côtés de même longueur.

**Conclusion** : Le triangle $$ \mathrm{ABC} $$ est **isocèle**.
**Exercice 16** 1. **Coordonnées du milieu $$ M $$ du segment $$ [\mathrm{AC}] $$** : $$ M(0 ; \frac{1}{2}) $$ 2. **Coordonnées du milieu $$ P $$ du segment $$ [\mathrm{DB}] $$** : $$ P(0 ; \frac{1}{2}) $$ 3. **Nature du quadrilatère $$ \mathrm{ABCD} $$** : Parallélogramme --- **Exercice 17** 1. **Longueurs** : - $$ \mathrm{AB} = \sqrt{29} $$ - $$ \mathrm{AC} = \sqrt{29} $$ 2. **Nature du triangle $$ \mathrm{ABC} $$** : Isocèle

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