TEMA: Integral indefinida 1. Encuentre una función $$ y=f(x) $$ de modo que: a. Satisfaga la ecuación $$ \frac{d y}{d x}=\frac{-1}{\sqrt{x}} $$ y cumpla que $$ f(16)=1 $$. b. Cumpla que $$ f^{\prime \prime}(x)=6, f^{\prime}(-1)=2 $$ y $$ f(-1)=0 $$. c. Cumpla que $$ f^{\prime \prime}(x)=x^{-3 / 2}, f^{\prime}(4)=2 $$ y $$ f(0)=0 $$.

Question

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A continuación se resuelven los incisos solicitados:

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a) Se pide encontrar una función f(x) tal que

dy/dx = –1/√x     (1)

con la condición f(16) = 1.

1. Se integra (1):
  f(x) = ∫(–1/√x) dx = –∫ x^(–½) dx.

2. Recordando que ∫ x^m dx = x^(m+1)/(m+1) + C (para m ≠ –1), con m = –½, se tiene:
  –∫ x^(–½) dx = –[x^(½)/(½)] + C = –2√x + C.

3. Usando la condición f(16) = 1:
  1 = –2√16 + C ⟹ 1 = –2·4 + C ⟹ 1 = –8 + C ⟹ C = 9.

Por lo tanto, la función es:
  f(x) = –2√x + 9.

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b) Se pide encontrar una función f(x) tal que

f″(x) = 6     (2)

con las condiciones f′(–1) = 2 y f(–1) = 0.

1. Se integra (2) para obtener f′(x):
  f′(x) = ∫6 dx = 6x + C₁.

2. Se utiliza la condición f′(–1) = 2:
  2 = 6(–1) + C₁ ⟹ 2 = –6 + C₁ ⟹ C₁ = 8.
  Luego, f′(x) = 6x + 8.

3. Se integra f′(x) para obtener f(x):
  f(x) = ∫(6x + 8) dx = 3x² + 8x + C₂.

4. Se utiliza la condición f(–1)=0:
  0 = 3(–1)² + 8(–1) + C₂ = 3 – 8 + C₂ ⟹ C₂ = 5.

Por lo tanto, la función es:
  f(x) = 3x² + 8x + 5.

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c) Se pide encontrar una función f(x) tal que

f″(x) = x^(–3/2)     (3)

con las condiciones f′(4) = 2 y f(0) = 0.

1. Se integra (3) para obtener f′(x):
  f′(x) = ∫ x^(–3/2) dx.
   
   Usando la fórmula ∫ x^m dx = x^(m+1)/(m+1) + C (con m = –3/2, m+1 = –1/2), se tiene:
  ∫ x^(–3/2) dx = x^(–1/2)/(–1/2) + C = –2x^(–1/2) + C.
  Así, f′(x) = –2x^(–1/2) + C₁.

2. Se utiliza la condición f′(4) = 2:
  2 = –2·4^(–1/2) + C₁.
  Observamos que 4^(–1/2) = 1/√4 = 1/2, por lo que:
  2 = –2·(1/2) + C₁ = –1 + C₁ ⟹ C₁ = 3.
  Entonces, f′(x) = –2x^(–1/2) + 3.

3. Se integra f′(x) para obtener f(x):
  f(x) = ∫[–2x^(–1/2) + 3] dx = –2∫x^(–1/2) dx + 3∫dx.
  - Se tiene que ∫x^(–1/2) dx = 2√x.
  - Y ∫dx = x.
  Por lo tanto:
  f(x) = –2·(2√x) + 3x + C₂ = –4√x + 3x + C₂.

4. Se utiliza la condición f(0) = 0:
  f(0) = –4√0 + 3·0 + C₂ = C₂ = 0.

Por lo tanto, la función es:
  f(x) = –4√x + 3x.

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Resumen de respuestas:

a) f(x) = –2√x + 9  
b) f(x) = 3x² + 8x + 5  
c) f(x) = –4√x + 3x

Estos son los resultados requeridos.
a) $$ f(x) = -2\sqrt{x} + 9 $$ b) $$ f(x) = 3x^2 + 8x + 5 $$ c) $$ f(x) = -4\sqrt{x} + 3x $$

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