Question
Si \( \int_{0}^{4} x^{2} d x=\frac{64}{3} \) Entonce el valor de en fracción \( (\mathrm{a} / \mathrm{b}) \) de \( \int_{-4}^{4} x^{2} d x \), es: Respuesta:
Ask by Reyes Little. in Colombia
Mar 09,2025
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Answer
La integral de \( x^{2} \) desde -4 hasta 4 es \( \frac{128}{3} \).
Solution
1. Se sabe que \( \int_{0}^{4} x^{2}\,dx = \frac{64}{3} \).
2. La función \( x^2 \) es una función par, por lo que se cumple que
\[
\int_{-4}^{4} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{4} x^{2}\,dx.
\]
3. Sustituyendo el valor dado:
\[
\int_{-4}^{4} x^{2}\,dx = 2\left(\frac{64}{3}\right) = \frac{128}{3}.
\]
4. Por lo tanto, la respuesta en fracción es
\[
\frac{128}{3}.
\]
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Para calcular \( \int_{-4}^{4} x^{2} d x \), consideramos la simetría de la función \( x^{2} \). Dado que \( x^{2} \) es par, podemos utilizar la propiedad de integrales de funciones pares: \[ \int_{-4}^{4} x^{2} d x = 2 \int_{0}^{4} x^{2} d x \] Sustituyendo el valor que ya tenemos: \[ \int_{-4}^{4} x^{2} d x = 2 \cdot \frac{64}{3} = \frac{128}{3} \] Por lo tanto, el valor en fracción de \( \int_{-4}^{4} x^{2} d x \) es \( \frac{128}{3} \), lo que implica que: \[ \mathrm{a} = 128 \text{, } \mathrm{b} = 3 \]
