Encontrar la integral $$ \int \sin ^{2} heta \cos ^{2} heta d heta $$

Question

Encontrar la integral $$ \int \sin ^{2} 	heta \cos ^{2} 	heta d 	heta $$

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Utilizamos la identidad seno doble para expresar el integrando. Sabemos que:

$$
   \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{1}{4}\sin^2 (2\theta)
   $$

2. La integral se transforma en:

$$
   \int \sin^2 \theta \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{4}\int \sin^2 (2\theta) \, d\theta
   $$

3. Aplicamos la identidad de la función cuadrática del seno:

$$
   \sin^2 u = \frac{1 - \cos(2u)}{2}
   $$

en donde $$ u = 2\theta $$. Entonces:

$$
   \sin^2 (2\theta) = \frac{1 - \cos(4\theta)}{2}
   $$

4. Sustituyendo en la integral, se tiene:

$$
   \frac{1}{4}\int \sin^2 (2\theta) \, d\theta = \frac{1}{4}\int \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} \, d\theta = \frac{1}{8}\int \left(1 - \cos(4\theta)\right) \, d\theta
   $$

5. Separamos la integral:

$$
   \frac{1}{8}\int \left(1 - \cos(4\theta)\right) \, d\theta = \frac{1}{8}\left[\int 1 \, d\theta - \int \cos(4\theta) \, d\theta \right]
   $$

6. Integramos término a término:

- $$\int 1 \, d\theta = \theta$$
   - Para $$\int \cos(4\theta) \, d\theta$$, utilizamos la sustitución directa, considerando que la derivada de $$ \sin(4\theta) $$ es $$ 4\cos(4\theta) $$, de modo que:

$$
     \int \cos(4\theta) \, d\theta = \frac{\sin(4\theta)}{4}
     $$

7. Sustituyendo los resultados en la integral:

$$
   \frac{1}{8}\left(\theta - \frac{\sin(4\theta)}{4}\right) = \frac{\theta}{8} - \frac{\sin(4\theta)}{32}
   $$

8. Finalmente, se añade la constante de integración $$ C $$:

$$
   \int \sin^2 \theta \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{\theta}{8} - \frac{\sin(4\theta)}{32} + C
   $$
La integral $$ \int \sin^2 \theta \cos^2 \theta \, d\theta $$ se simplifica a $$ \frac{\theta}{8} - \frac{\sin(4\theta)}{32} + C $$.

Encontrar la integral \( \int \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta d \theta \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Calculus Questions