A tiempo cero, Enrique deposita 625 yenes en una cuenta que paga una tasa de interés simple del
. Al final del segundo año, Jorge deposita 400 yenes en una cuenta que gana interés de acuerdo a
una fuerza de interés dada por para . Si ambas cuentas continuan acumulando interés
indefinidamente, los montos en ambas cuentas serán iguales al final del -ésimo año. Determine
el valor de .

Ask by Sherman Ross. in Mexico

Mar 16,2025

Question

A tiempo cero, Enrique deposita 625 yenes en una cuenta que paga una tasa de interés simple del
. Al final del segundo año, Jorge deposita 400 yenes en una cuenta que gana interés de acuerdo a
una fuerza de interés dada por para . Si ambas cuentas continuan acumulando interés
indefinidamente, los montos en ambas cuentas serán iguales al final del -ésimo año. Determine
el valor de .

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Mar 16,2025

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Consideramos los dos depósitos:

1. **Cuenta de Enrique:**

Enrique deposita $$625$$ yen a tiempo $$0$$ en una cuenta que acumula interés simple al $$6\%$$. Con interés simple, el monto acumulado a los $$n$$ años es
   $$
   M_E = 625\,(1 + 0.06\,n).
   $$

2. **Cuenta de Jorge:**

Jorge deposita $$400$$ yen en una cuenta a tiempo $$2$$ que acumula con una fuerza de interés dada por
   $$
   \delta_t = \frac{1}{6+t} \quad \text{para } t \ge 2.
   $$
   El factor de acumulación desde el tiempo $$2$$ hasta el tiempo $$n$$ es
   $$
   A(2,n) = \exp\left(\int_{2}^{n} \frac{1}{6+t}\,dt\right).
   $$
   Realizamos el cálculo del exponente:
   $$
   \int_{2}^{n} \frac{1}{6+t}\,dt = \left[\ln(6+t)\right]_{t=2}^{t=n} = \ln(6+n) - \ln(8) = \ln\left(\frac{n+6}{8}\right).
   $$
   Entonces, el factor de acumulación es:
   $$
   A(2,n) = \exp\left(\ln\left(\frac{n+6}{8}\right)\right) = \frac{n+6}{8}.
   $$
   Por lo tanto, el monto acumulado en la cuenta de Jorge a tiempo $$n$$ es:
   $$
   M_J = 400 \times \frac{n+6}{8} = 50\,(n+6).
   $$

3. **Igualando los montos al final del $$n$$-ésimo año:**

Se nos indica que ambas cuentas tienen el mismo monto a tiempo $$n$$. Es decir:
   $$
   625(1+0.06n) = 50(n+6).
   $$
   Desarrollamos la ecuación:
   $$
   625 + 37.5\,n = 50\,n + 300.
   $$
   Restamos $$37.5\,n$$ y $$300$$ en ambos lados:
   $$
   625 - 300 = 50\,n - 37.5\,n,
   $$
   $$
   325 = 12.5\,n.
   $$
   Finalmente, despejamos $$n$$:
   $$
   n = \frac{325}{12.5} = 26.
   $$

Por lo tanto, $$n = 26$$.
Después de calcular, $$ n = 26 $$ años.

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