A tiempo cero, Enrique deposita 625 yenes en una cuenta que paga una tasa de interés simple del \( 6 \% \). Al final del segundo año, Jorge deposita 400 yenes en una cuenta que gana interés de acuerdo a una fuerza de interés dada por \( \delta_{t}=\frac{1}{6+t} \) para \( t \geq 2 \). Si ambas cuentas continuan acumulando interés indefinidamente, los montos en ambas cuentas serán iguales al final del \( n \)-ésimo año. Determine el valor de \( n \).

Para resolver el problema, necesitamos calcular los montos acumulados en ambas cuentas al final del \( n \)-ésimo año y luego igualarlos para determinar el valor de \( n \). **Cuenta de Enrique:** Deposita 625 yenes a una tasa de interés simple del 6%. La fórmula del interés simple es: \[ A = P(1 + rt) \] Donde: - \( A \) es el monto acumulado, - \( P \) es el capital inicial (625 yenes), - \( r \) es la tasa de interés (0.06), - \( t \) es el tiempo en años. Así, el monto de Enrique al final del \( n \)-ésimo año se calcula como: \[ A_E = 625(1 + 0.06n) \] **Cuenta de Jorge:** Jorge hace un depósito de 400 yenes al final del segundo año y su cuenta gana interés según una fuerza de interés definida como \( \delta_{t}=\frac{1}{6+t} \). Para calcular el monto acumulado en la cuenta de Jorge a partir del tercer año, primero debemos integrar \( \delta \) desde el momento en que Jorge realiza su depósito. La relación entre la fuerza de interés y el monto acumulado es: \[ A = P e^{\int \delta(t) dt} \] Dado que Jorge deposita 400 yenes al final del segundo año, el interés acumulado a partir de ese momento se calcula desde \( t = 2 \) hasta \( t = n \). La integral de la fuerza de interés es: \[ \int_{2}^{n} \frac{1}{6+t} dt = \ln(6 + n) - \ln(8) = \ln\left(\frac{6+n}{8}\right) \] Por lo tanto, el monto acumulado en la cuenta de Jorge al final del \( n \)-ésimo año es: \[ A_J = 400 e^{\ln\left(\frac{6+n}{8}\right)} = 400 \cdot \frac{6+n}{8} \] **Igualamos ambas cuentas:** \[ 625(1 + 0.06n) = 400 \cdot \frac{6+n}{8} \] Ahora simplificamos y despejamos \( n \): 1. Simplificamos la ecuación; \[ 625 + 37.5n = 50(6 + n) \] 2. Expandimos el lado derecho: \[ 625 + 37.5n = 300 + 50n \] 3. Reorganizamos los términos: \[ 625 - 300 = 50n - 37.5n \] \[ 325 = 12.5n \] 4. Despejamos \( n \): \[ n = \frac{325}{12.5} = 26 \] Por lo tanto, el valor de \( n \) es **26**.