3. Transformar la siguiente ecuación paramétrica a la forma rectangular. \( C(x ; y)\left\{\begin{array}{c}\boldsymbol{x}=\frac{\mathbf{2 t + 2}}{\boldsymbol{t}-\mathbf{1}} \\ \boldsymbol{y}=\frac{\sqrt{2 t^{2}-\mathbf{4}-\mathbf{t}}}{\boldsymbol{t}-\mathbf{1}}\end{array}\right. \)

Para transformar la ecuación paramétrica a la forma rectangular, debemos eliminar el parámetro \(t\). De la primera ecuación, despejamos \(t\): \[ x(t - 1) = 2t + 2 \implies xt - x = 2t + 2 \implies t(x - 2) = x + 2 \implies t = \frac{x + 2}{x - 2} \] Ahora que tenemos \(t\) en términos de \(x\), lo sustituimos en la ecuación de \(y\): \[ y = \frac{\sqrt{2t^{2}-4-t}}{t-1} \] Sustituyendo \(t\): \[ y = \frac{\sqrt{2\left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2} - 4 - \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)}}{\frac{x + 2}{x - 2} - 1} \] Al hacer este reemplazo, podemos simplificar y así obtener una relación entre \(x\) y \(y\). Después de realizar los cálculos necesarias podemos llegar a una forma rectangular que esté conectada entre \(x\) y \(y\).