6. (UFAM) O valor do determinante abaixo é: $$ \left|\begin{array}{llll}0 & y & z & w \ x & 0 & 0 & w \ x & 0 & z & 0 \ x & y & 0 & 0\end{array}\right| $$ a) $$ -3 x y z $$ b) $$ 2 x y z w $$ c) $$ 3 x y z $$ d) $$ 3 x y z w $$ e) $$ -2 x y w $$

Question

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Para calcular o determinante da matriz dada, vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. A matriz é:

$$
A = \begin{pmatrix}
0 & y & z & w \
x & 0 & 0 & w \
x & 0 & z & 0 \
x & y & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

Vamos calcular o determinante $$ |A| $$ passo a passo.

### Passo 1: Expansão pelo primeiro linha

Usando a primeira linha para a expansão do determinante, temos:

$$
|A| = 0 \cdot |M_{11}| - y \cdot |M_{12}| + z \cdot |M_{13}| - w \cdot |M_{14}|
$$

Como o primeiro termo é zero, podemos ignorá-lo. Agora, precisamos calcular os determinantes $$ |M_{12}| $$, $$ |M_{13}| $$ e $$ |M_{14}| $$.

### Passo 2: Cálculo dos menores

1. **Cálculo de $$ |M_{12}| $$**:

$$
M_{12} = \begin{pmatrix}
x & 0 & w \
x & z & 0 \
x & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

Calculando o determinante:

$$
|M_{12}| = x \cdot \begin{vmatrix}
z & 0 \
0 & 0
\end{vmatrix} - 0 + w \cdot \begin{vmatrix}
x & z \
x & 0
\end{vmatrix}
$$

O determinante $$ \begin{vmatrix}
z & 0 \
0 & 0
\end{vmatrix} = 0 $$.

Agora, calculando o segundo determinante:

$$
\begin{vmatrix}
x & z \
x & 0
\end{vmatrix} = x \cdot 0 - z \cdot x = -xz
$$

Portanto:

$$
|M_{12}| = 0 + w \cdot (-xz) = -wxz
$$

2. **Cálculo de $$ |M_{13}| $$**:

$$
M_{13} = \begin{pmatrix}
x & 0 & w \
x & 0 & 0 \
x & y & 0
\end{pmatrix}
$$

Calculando o determinante:

$$
|M_{13}| = x \cdot \begin{vmatrix}
0 & 0 \
y & 0
\end{vmatrix} - 0 + w \cdot \begin{vmatrix}
x & 0 \
x & y
\end{vmatrix}
$$

O determinante $$ \begin{vmatrix}
0 & 0 \
y & 0
\end{vmatrix} = 0 $$.

Agora, calculando o segundo determinante:

$$
\begin{vmatrix}
x & 0 \
x & y
\end{vmatrix} = xy - 0 = xy
$$

Portanto:

$$
|M_{13}| = 0 + w \cdot xy = wxy
$$

3. **Cálculo de $$ |M_{14}| $$**:

$$
M_{14} = \begin{pmatrix}
x & 0 & 0 \
x & 0 & z \
x & y & 0
\end{pmatrix}
$$

Calculando o determinante:

$$
|M_{14}| = x \cdot \begin{vmatrix}
0 & z \
y & 0
\end{vmatrix} - 0 + 0
$$

O determinante $$ \begin{vmatrix}
0 & z \
y & 0
\end{vmatrix} = -zy $$.

Portanto:

$$
|M_{14}| = x \cdot (-zy) = -xyz
$$

### Passo 3: Substituindo os menores na expansão

Agora, substituímos os valores dos menores na expressão do determinante:

$$
|A| = -y \cdot (-wxz) + z \cdot (wxy) - w \cdot (-xyz)
$$

Simplificando:

$$
|A| = ywxz + zwxy + wxyz
$$

Todos os termos são iguais, então podemos fatorar:

$$
|A| = 3xyzw
$$

### Conclusão

O valor do determinante é:

$$
\boxed{3xyzw}
$$

Portanto, a resposta correta é a alternativa **d) $$ 3xyz w $$**.
O determinante é $$ 3xyzw $$, então a resposta correta é **d) $$ 3xyzw $$**.

6. (UFAM) O valor do determinante abaixo é: \[ \left|\begin{array}{llll}0 & y & z & w \\ x & 0 & 0 & w \\ x & 0 & z & 0 \\ x & y & 0 & 0\end{array}\right| \] a) \( -3 x y z \) b) \( 2 x y z w \) c) \( 3 x y z \) d) \( 3 x y z w \) e) \( -2 x y w \)

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