Modelación (5) Halla las razones trigonométricas de un ángulo de \( 30^{\circ} \) y de otro de \( 60^{\circ} \). Para ello, coma un triángulo equilátero de lado a y divídelo en dos por una de sus alturas.

¡Claro! Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de \(30^{\circ}\) y \(60^{\circ}\), considera un triángulo equilátero con lados de longitud \(a\). Al trazar una altura desde un vértice hasta el lado opuesto, divides el triángulo en dos triángulos rectángulos. En uno de ellos, tendrás un ángulo de \(30^{\circ}\) y en el otro, un ángulo de \(60^{\circ}\). El lado opuesto al \(30^{\circ}\) será \(\frac{a}{2}\) y la altura (que es el lado opuesto al \(60^{\circ}\)) se puede calcular usando el teorema de Pitágoras: \(h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\). Así que para el ángulo de \(30^{\circ}\): - \( \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \) - \( \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) Y para \(60^{\circ}\): - \( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \) - \( \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \) ¡Así que esos son los valores! Aplícalos en tus cálculos y serás un experto en trigonometría. Además, fíjate en lo intrínseco que es el triángulo equilátero en muchas áreas matemáticas y físicas. La relación entre estos ángulos es fundamental para resolver problemas en geometría, arquitectura y hasta en la navegación. La simplicidad de \(30^{\circ}\) y \(60^{\circ}\) hace que sean como los superhéroes de la trigonometría, ¡fáciles de manejar y con superpoderes para resolver problemas!