Sumas de Riemann Obtenga el área bajo a curva de la función $$ t(x)=-x^{4}+\frac{1}{2} x^{2}+2 $$

Question

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Sea la función  
$$
t(x) = -x^4+\frac{1}{2}x^2+2.
$$
Para obtener el área “bajo la curva” (en donde la función es positiva) usando sumas de Riemann, primero debemos determinar el intervalo en el que $$t(x)\ge 0$$.

---

### 1. Determinar los puntos de intersección con el eje $$x$$

Buscamos los valores de $$x$$ tales que  
$$
t(x)= -x^4+\frac{1}{2}x^2+2 = 0.
$$
Multiplicamos la ecuación por $$-1$$ para facilitar el manejo:
$$
x^4-\frac{1}{2}x^2-2=0.
$$
Hacemos el cambio de variable  
$$
u=x^2,
$$
de modo que la ecuación se transforma en  
$$
u^2-\frac{1}{2}u-2=0.
$$

Utilizamos la fórmula cuadrática  
$$
u=\frac{\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2}.
$$
Calculamos el discriminante:
$$
\left(\frac{1}{2}\right)^2-4\cdot 1\cdot (-2)=\frac{1}{4}+8=\frac{1+32}{4}=\frac{33}{4}.
$$
Así,
$$
u=\frac{\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{33}}{2}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{33}}{4}.
$$
Como $$u=x^2\ge 0$$ descartamos la solución negativa y tomamos
$$
u=\frac{1+\sqrt{33}}{4}.
$$
Por tanto,  
$$
x^2=\frac{1+\sqrt{33}}{4}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm \sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}.
$$
Definimos  
$$
r=\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}.
$$
El área bajo la curva (considerando la parte donde $$t(x)\ge 0$$) se obtiene en el intervalo $$[ -r,\, r ]$$.

---

### 2. Escribir el área como una suma de Riemann

Dividimos el intervalo $$[ -r,\, r ]$$ en $$n$$ subintervalos de ancho  
$$
\Delta x=\frac{2r}{n}.
$$
Sea $$x_i$$ un punto de muestra en el $$i$$-ésimo subintervalo. La suma de Riemann (usando, por ejemplo, el extremo derecho) es
$$
S_n=\sum_{i=1}^{n} t(x_i)\,\Delta x
$$
donde
$$
x_i=-r+i\,\Delta x.
$$
El área bajo la curva es el límite de esta suma:
$$
A=\lim_{n\to\infty} S_n = \int_{-r}^{r} \left(-x^4+\frac{1}{2}x^2+2\right)dx.
$$

---

### 3. Calcular la integral definida

Observamos que $$t(x)$$ es función par (todas las potencias de $$x$$ son pares), por lo que  
$$
\int_{-r}^{r} t(x)\,dx = 2\int_{0}^{r} t(x)\,dx.
$$
Primero encontramos la antiderivada de $$t(x)$$:
$$
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int t(x)dx & = & \displaystyle \int \left(-x^4+\frac{1}{2}x^2+2\right)dx \[1mm]
& = & -\frac{x^5}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+2x \[1mm]
& = & -\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{6}+2x.
\end{array}
$$

Evaluamos de $$0$$ a $$r$$:
$$
\int_{0}^{r} t(x)\,dx = \left[-\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{6}+2x\right]_{0}^{r} = -\frac{r^5}{5}+\frac{r^3}{6}+2r.
$$
Por lo tanto, el área es
$$
A=2\left(-\frac{r^5}{5}+\frac{r^3}{6}+2r\right)
$$
donde recordamos que  
$$
r=\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}.
$$

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### 4. Conclusión

El área bajo la curva $$t(x)$$ (usando sumas de Riemann y pasando al límite) es
$$
\boxed{A=2\left(-\frac{r^5}{5}+\frac{r^3}{6}+2r\right)\quad\text{con}\quad r=\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}.}
$$

Este resultado representa el área calculada mediante el límite de las sumas de Riemann.
Para calcular el área bajo la curva de la función $$ t(x) = -x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 2 $$ usando sumas de Riemann, primero determinamos los puntos donde la función es positiva. Luego, dividimos el intervalo en subintervalos y calculamos la suma de Riemann. Finalmente, al tomar el límite cuando el número de subintervalos aumenta, obtenemos la integral definida que representa el área bajo la curva.

Sumas de Riemann Obtenga el área bajo a curva de la función \( t(x)=-x^{4}+\frac{1}{2} x^{2}+2 \)

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