Sumas de Riemann
Obtenga el área bajo a
curva de la función

Ask by Rose Simpson. in Colombia

Mar 16,2025

Question

Sumas de Riemann Obtenga el área bajo a curva de la función $$ t(x)=-x^{4}+\frac{1}{2} x^{2}+2 $$

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Sea la función  
$$
t(x) = -x^4+\frac{1}{2}x^2+2.
$$
Para obtener el área “bajo la curva” (en donde la función es positiva) usando sumas de Riemann, primero debemos determinar el intervalo en el que $$t(x)\ge 0$$.

---

### 1. Determinar los puntos de intersección con el eje $$x$$

Buscamos los valores de $$x$$ tales que  
$$
t(x)= -x^4+\frac{1}{2}x^2+2 = 0.
$$
Multiplicamos la ecuación por $$-1$$ para facilitar el manejo:
$$
x^4-\frac{1}{2}x^2-2=0.
$$
Hacemos el cambio de variable  
$$
u=x^2,
$$
de modo que la ecuación se transforma en  
$$
u^2-\frac{1}{2}u-2=0.
$$

Utilizamos la fórmula cuadrática  
$$
u=\frac{\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2}.
$$
Calculamos el discriminante:
$$
\left(\frac{1}{2}\right)^2-4\cdot 1\cdot (-2)=\frac{1}{4}+8=\frac{1+32}{4}=\frac{33}{4}.
$$
Así,
$$
u=\frac{\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{33}}{2}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{33}}{4}.
$$
Como $$u=x^2\ge 0$$ descartamos la solución negativa y tomamos
$$
u=\frac{1+\sqrt{33}}{4}.
$$
Por tanto,  
$$
x^2=\frac{1+\sqrt{33}}{4}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm \sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}.
$$
Definimos  
$$
r=\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}.
$$
El área bajo la curva (considerando la parte donde $$t(x)\ge 0$$) se obtiene en el intervalo $$[ -r,\, r ]$$.

---

### 2. Escribir el área como una suma de Riemann

Dividimos el intervalo $$[ -r,\, r ]$$ en $$n$$ subintervalos de ancho  
$$
\Delta x=\frac{2r}{n}.
$$
Sea $$x_i$$ un punto de muestra en el $$i$$-ésimo subintervalo. La suma de Riemann (usando, por ejemplo, el extremo derecho) es
$$
S_n=\sum_{i=1}^{n} t(x_i)\,\Delta x
$$
donde
$$
x_i=-r+i\,\Delta x.
$$
El área bajo la curva es el límite de esta suma:
$$
A=\lim_{n\to\infty} S_n = \int_{-r}^{r} \left(-x^4+\frac{1}{2}x^2+2\right)dx.
$$

---

### 3. Calcular la integral definida

Observamos que $$t(x)$$ es función par (todas las potencias de $$x$$ son pares), por lo que  
$$
\int_{-r}^{r} t(x)\,dx = 2\int_{0}^{r} t(x)\,dx.
$$
Primero encontramos la antiderivada de $$t(x)$$:
$$
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int t(x)dx & = & \displaystyle \int \left(-x^4+\frac{1}{2}x^2+2\right)dx \[1mm]
& = & -\frac{x^5}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+2x \[1mm]
& = & -\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{6}+2x.
\end{array}
$$

Evaluamos de $$0$$ a $$r$$:
$$
\int_{0}^{r} t(x)\,dx = \left[-\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{6}+2x\right]_{0}^{r} = -\frac{r^5}{5}+\frac{r^3}{6}+2r.
$$
Por lo tanto, el área es
$$
A=2\left(-\frac{r^5}{5}+\frac{r^3}{6}+2r\right)
$$
donde recordamos que  
$$
r=\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}.
$$

---

### 4. Conclusión

El área bajo la curva $$t(x)$$ (usando sumas de Riemann y pasando al límite) es
$$
\boxed{A=2\left(-\frac{r^5}{5}+\frac{r^3}{6}+2r\right)\quad\text{con}\quad r=\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}.}
$$

Este resultado representa el área calculada mediante el límite de las sumas de Riemann.
Para calcular el área bajo la curva de la función $$ t(x) = -x^4 + \frac{1}{2}x^2 + 2 $$ usando sumas de Riemann, primero determinamos los puntos donde la función es positiva. Luego, dividimos el intervalo en subintervalos y calculamos la suma de Riemann. Finalmente, al tomar el límite cuando el número de subintervalos aumenta, obtenemos la integral definida que representa el área bajo la curva.

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