$$ \int an x [ \ln ( \cos x ) ] d x $$

Question

$$ \int 	an x [ \ln ( \cos x ) ] d x $$

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1. Planteamos la integral:
   $$
   \int \tan x \, \ln(\cos x) \, dx
   $$
   
2. Recordamos que $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$, por lo que la integral se puede escribir como:
   $$
   \int \frac{\sin x}{\cos x} \, \ln(\cos x) \, dx
   $$
   
3. Realizamos el cambio de variable:
   $$
   u = \cos x \quad \Rightarrow \quad du = -\sin x \, dx \quad \Rightarrow \quad -du = \sin x \, dx
   $$
   
4. Sustituimos en la integral:
   $$
   \int \frac{\sin x}{\cos x} \, \ln(\cos x) \, dx = \int \frac{\ln(u)}{u} \, \sin x \, dx = \int \frac{\ln(u)}{u} \, (-du) = -\int \frac{\ln(u)}{u} \, du
   $$
   
5. Evaluamos la integral:
   $$
   \int \frac{\ln(u)}{u} \, du
   $$
   Sea $$w = \ln u$$, de donde $$dw = \frac{du}{u}$$. Entonces:
   $$
   \int \frac{\ln(u)}{u} \, du = \int w \, dw = \frac{w^2}{2} = \frac{(\ln u)^2}{2}
   $$
   
6. Incorporamos el signo negativo:
   $$
   -\int \frac{\ln(u)}{u} \, du = -\frac{(\ln u)^2}{2}
   $$
   
7. Regresamos a la variable original $$x$$ (recordando que $$u = \cos x$$):
   $$
   -\frac{(\ln(\cos x))^2}{2} + C
   $$
   
La solución de la integral es:
$$
-\frac{(\ln(\cos x))^2}{2} + C
$$
La integral de $$ \tan x \cdot \ln(\cos x) $$ con respecto a $$ x $$ es: $$ -\frac{(\ln(\cos x))^2}{2} + C $$ donde $$ C $$ es la constante de integración.

\( \int \tan x [ \ln ( \cos x ) ] d x \)

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