Bepaal die waarde van die volgende: $$ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{1-2 n} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Ons wil die waarde bepaal van die oneindige reeks:

$$
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{1-2n}
$$

**Stappe om die som te bereken:**

1. **Herformuleer die Term:**
   
   Die term $$2^{1-2n}$$ kan herskryf word as:

$$
   2^{1-2n} = 2 \cdot 2^{-2n} = 2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n
   $$

2. **Identifiseer as 'n Geometriese Reeks:**

Dus, die som word:

$$
   \sum_{n=1}^{\infty} 2^{1-2n} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n
   $$

3. **Gebruik die Formule vir 'n Geometriese Reeks:**
   
   Vir 'n geometriese reeks van die vorm $$\sum_{n=1}^{\infty} r^n$$, is die som:

$$
   \sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1 - r} \quad \text{vir} \ |r| < 1
   $$

Hier is $$ r = \frac{1}{4} $$, so:

$$
   \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}
   $$

4. **Bereken die Finale Som:**

$$
   2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
   $$

**Dus, die waarde van die reeks is:**

$$
\frac{2}{3}
$$
Die waarde van die reeks $$ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{1-2n} $$ is $$ \frac{2}{3} $$.

Bepaal die waarde van die volgende: \( \sum_{n=1}^{\infty} 2^{1-2 n} \)