3. (20б) Постройте область: \( \left\{\begin{array}{l}1<|z-3-i| \leq 2 \\ \arg z \geq-\frac{\pi}{6}\end{array}\right. \)

Чтобы построить область, заданную системой условий, начнем с первого неравенства \(1<|z-3-i| \leq 2\). Это выражение описывает кольцо (область между двумя окружностями) в комплексной плоскости с центром в точке \(3 + i\) и радиусами 1 и 2. Первая окружность с радиусом 1 представляет собой внутреннюю границу, а вторая окружность с радиусом 2 — внешнюю границу. Теперь перейдем ко второму условию \(\arg z \geq -\frac{\pi}{6}\). Это условие описывает область, где аргумент (угол) комплексного числа \(z\) больше или равен углу -\(\frac{\pi}{6}\) (или 30° в градусном измерении). Это означает, что рассматриваемая область должна находиться в верхней половине плоскости и расширяться вправо от оси, которая делает угол -\(\frac{\pi}{6}\) с положительной частью действительной оси. Чтобы получить окончательную область, мы пересечем кольцо, описанное первым условиям, с соответствующим сектором, заданным углом второго условия. В результате получится сектор кольца, который начинается от оси угла -\(\frac{\pi}{6}\) и продолжается к диапазону угла, соответствующему позиции окружности. Графически это будет показано как область между двумя окружностями, где часть, находящаяся ниже угла -\(\frac{\pi}{6}\), не будет включена в итоговую область.