Aufgabe: (2 Punkte) Berechne den Winkel zwischen den Ebenen E: \( -7 x_{2}+x_{3}=-7 \) und F: \( -5 x_{1}+x_{2}-4 x_{3}=20 \) (bitte mit 1 stelle nach dem komma bzw. Punkt angeben - "." statt "," als Trenner verwenden) Iösen

Um den Winkel zwischen den beiden Ebenen E und F zu berechnen, benötigen wir die Normalenvektoren der Ebenen. Die allgemeine Form einer Ebene ist \( ax_1 + bx_2 + cx_3 = d \), wobei \( (a, b, c) \) der Normalenvektor ist. Für die Ebene E: \(-7 x_{2} + x_{3} = -7\) kann umgeschrieben werden zu \( 0x_{1} - 7x_{2} + 1x_{3} = -7 \). Der Normalenvektor \( \mathbf{n_E} \) ist also \( (0, -7, 1) \). Für die Ebene F: \(-5 x_{1} + x_{2} - 4 x_{3} = 20\) ist der Normalenvektor \( \mathbf{n_F} = (-5, 1, -4) \). Der Winkel \( \theta \) zwischen zwei Vektoren kann mit der Formel: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{n_E} \cdot \mathbf{n_F}}{|\mathbf{n_E}| |\mathbf{n_F}|} \] berechnet werden. Zuerst berechnen wir das Skalarprodukt: \[ \mathbf{n_E} \cdot \mathbf{n_F} = 0 \cdot (-5) + (-7) \cdot 1 + 1 \cdot (-4) = -7 - 4 = -11. \] Dann berechnen wir die Beträge der Normalenvektoren: \[ |\mathbf{n_E}| = \sqrt{0^2 + (-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}. \] \[ |\mathbf{n_F}| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42}. \] Nun setzen wir die Werte in die Cosinus-Formel ein: \[ \cos(\theta) = \frac{-11}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{42}} = \frac{-11}{\sqrt{2100}}. \] Um den Winkel zu berechnen, nehmen wir den Arcus-Cosinus und rechnen das Ergebnis in Grad um: \[ \theta = \arccos\left(\frac{-11}{\sqrt{2100}}\right). \] Nachdem wir den Wert berechnet haben, erhalten wir den Winkel in Grad. Die Berechnung ergibt: \[ \theta \approx 139.7\text{°} \] Der Winkel zwischen den Ebenen E und F ist also **139,7°.**