Considere a função \( f(t)=e^{-1} \sin (2 t) \) para todo \( t \) real. O valor de \( f^{\prime \prime}(\pi / 4) \) é: Escolha uma opção: a. \( -2 e^{-\pi / 4} \) b. \( e^{-\pi / 4} \) c. \( -3 e^{-\pi / 4} \) d. \( -e^{-\pi / 4} \)

Para encontrar o valor de \( f^{\prime \prime}(\pi / 4) \), vamos primeiro calcular as derivadas primeira e segunda da função \( f(t) = e^{-1} \sin(2t) \). 1. A primeira derivada é: \[ f'(t) = e^{-1} \cdot 2 \cos(2t) = 2e^{-1} \cos(2t). \] 2. A segunda derivada é: \[ f''(t) = 2e^{-1} \cdot (-2 \sin(2t)) = -4e^{-1} \sin(2t). \] Agora, precisamos avaliar \( f''(\pi / 4) \): \[ f''(\pi/4) = -4e^{-1} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -4e^{-1} \sin(\frac{\pi}{2}) = -4e^{-1} \cdot 1 = -4e^{-1}. \] Assim, temos que \( f^{\prime \prime}(\pi / 4) = -4e^{-1} \). No entanto, parece que não temos essa opção entre as respostas. Vamos verificar. De acordo com a descrição do problema, as opções são: a. \( -2 e^{-\pi / 4} \) b. \( e^{-\pi / 4} \) c. \( -3 e^{-\pi / 4} \) d. \( -e^{-\pi / 4} \) E aqui vamos reavaliar as opções em função de \( e^{-1} \). Quando reescrevemos \( e^{-1} = e^{-\pi/4} \cdot e^{\pi/4 - 1} \), precisamos assim encontrar uma correspondência. Entretanto, parece que não podemos ver essas duas partes diretamente, então revisaremos a tarefa com clareza. O valor correto derivado parece não existir nas opções também porque estamos vendo \( -4e^{-1} \), mas não temos representação sobre isso na lista. Assim, somamos que a resposta está fora de opção, e é \( f^{\prime \prime}(\pi / 4) = -4 e^{-1} \).