¿Cuántas fracciones propias e irreductibles cuyo denominador sea 24 hay?

1. Una fracción propia con denominador 24 se escribe como \(\frac{a}{24}\) donde \(a\) es un número entero positivo menor que 24, es decir, \(1 \leq a < 24\). 2. La fracción es irreductible si y solo si el numerador y el denominador son relativamente primos, es decir, \(\gcd(a, 24) = 1\). 3. El problema se reduce a contar los números \(a\) en el conjunto \(\{1, 2, \dots, 23\}\) que son coprimos con 24. Esta cantidad se denota por la función totiente de Euler, \(\varphi(24)\). 4. El número 24 se descompone en factores primos: \[ 24 = 2^3 \cdot 3 \] 5. La fórmula de la función totiente es: \[ \varphi(n) = n \prod_{p \mid n} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \] Aplicando la fórmula para \(n = 24\): \[ \varphi(24) = 24 \left(1 - \frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{3}\right) \] 6. Calculamos los factores: \[ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, \quad 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] 7. Por lo tanto: \[ \varphi(24) = 24 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 24 \cdot \frac{1}{3} = 8 \] 8. Así, hay \(\boxed{8}\) fracciones propias e irreductibles cuyo denominador es 24.