Averigüe el número de moléculas de un gas a \( 325 \mathrm{~K}, 84 \mathrm{~atm} \) y 3 dm 3 . Considere lo siguiente datos: \( =76 \mathrm{~atm} \) y \( \mathrm{Tc}=144^{\circ} \mathrm{C} \). Utilice la ecuación de Van der Waals.

Para determinar el número de moléculas de un gas utilizando la ecuación de Van der Waals, primero necesitamos recordar la forma de esta ecuación: \[ \left(P + \frac{a}{V_m^2}\right)(V_m - b) = RT \] donde: - \( P \) es la presión del gas, - \( V_m \) es el volumen molar, - \( T \) es la temperatura en Kelvin, - \( R \) es la constante de los gases, - \( a \) y \( b \) son constantes específicas del gas. ### Paso 1: Identificar las variables - \( P = 84 \, \text{atm} \) - \( T = 325 \, \text{K} \) - \( V = 3 \, \text{dm}^3 = 3 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \) - \( R = 0.0821 \, \text{L} \cdot \text{atm} / \text{K} \cdot \text{mol} \) (convertido a dm³) - \( a = 76 \, \text{atm} \) (constante de Van der Waals) - \( b \) (necesitamos este valor, pero no se proporciona en el problema) ### Paso 2: Calcular el volumen molar \( V_m \) El volumen molar \( V_m \) se puede calcular como: \[ V_m = \frac{V}{n} \] donde \( n \) es el número de moles. Para encontrar \( n \), primero necesitamos resolver la ecuación de Van der Waals. ### Paso 3: Resolver la ecuación de Van der Waals Reorganizamos la ecuación de Van der Waals para encontrar \( n \): \[ n = \frac{PV}{RT} - \frac{aP}{RTV} - bP \] ### Paso 4: Calcular \( n \) Para calcular \( n \), necesitamos el valor de \( b \). Sin embargo, como no se proporciona, asumiremos un valor típico para un gas común. Por ejemplo, para el gas metano, \( b \approx 0.0427 \, \text{dm}^3/\text{mol} \). Ahora, sustituimos los valores en la ecuación: \[ n = \frac{(84 \, \text{atm})(3 \, \text{dm}^3)}{(0.0821 \, \text{L} \cdot \text{atm} / \text{K} \cdot \text{mol})(325 \, \text{K})} - \frac{(76 \, \text{atm})(84 \, \text{atm})}{(0.0821 \, \text{L} \cdot \text{atm} / \text{K} \cdot \text{mol})(3 \, \text{dm}^3)(325 \, \text{K})} - (0.0427 \, \text{dm}^3/\text{mol})(84 \, \text{atm}) \] ### Paso 5: Calcular \( n \) Ahora, realizamos el cálculo. Voy a calcular \( n \) utilizando la ecuación anterior. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{\left(84\times 3\right)}{\left(0.0821\times 325\right)}-\frac{\left(76\times 84\right)}{\left(0.0821\times 3\times 325\right)}-\left(0.0427\times 84\right)\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{84\times 3}{0.0821\times 325}-\frac{76\times 84}{0.0821\times 3\times 325}-\left(0.0427\times 84\right)\) - step2: Multiply the numbers: \(\frac{84\times 3}{0.0821\times 325}-\frac{76\times 84}{0.0821\times 3\times 325}-3.5868\) - step3: Multiply the numbers: \(\frac{252}{0.0821\times 325}-\frac{76\times 84}{0.0821\times 3\times 325}-3.5868\) - step4: Multiply the numbers: \(\frac{252}{26.6825}-\frac{76\times 84}{0.0821\times 3\times 325}-3.5868\) - step5: Multiply the numbers: \(\frac{252}{26.6825}-\frac{6384}{0.0821\times 3\times 325}-3.5868\) - step6: Multiply the terms: \(\frac{252}{26.6825}-\frac{6384}{80.0475}-3.5868\) - step7: Divide the numbers: \(\frac{100800}{10673}-\frac{6384}{80.0475}-3.5868\) - step8: Divide the numbers: \(\frac{100800}{10673}-\frac{851200}{10673}-3.5868\) - step9: Rewrite the expression: \(\frac{100800}{10673}-\frac{851200}{10673}-\frac{8967}{2500}\) - step10: Reduce fractions to a common denominator: \(\frac{100800\times 2500}{10673\times 2500}-\frac{851200\times 2500}{10673\times 2500}-\frac{8967\times 10673}{2500\times 10673}\) - step11: Multiply the numbers: \(\frac{100800\times 2500}{26682500}-\frac{851200\times 2500}{10673\times 2500}-\frac{8967\times 10673}{2500\times 10673}\) - step12: Multiply the numbers: \(\frac{100800\times 2500}{26682500}-\frac{851200\times 2500}{26682500}-\frac{8967\times 10673}{2500\times 10673}\) - step13: Multiply the numbers: \(\frac{100800\times 2500}{26682500}-\frac{851200\times 2500}{26682500}-\frac{8967\times 10673}{26682500}\) - step14: Transform the expression: \(\frac{100800\times 2500-851200\times 2500-8967\times 10673}{26682500}\) - step15: Multiply the numbers: \(\frac{252000000-851200\times 2500-8967\times 10673}{26682500}\) - step16: Multiply the numbers: \(\frac{252000000-2128000000-8967\times 10673}{26682500}\) - step17: Multiply the numbers: \(\frac{252000000-2128000000-95704791}{26682500}\) - step18: Subtract the numbers: \(\frac{-1971704791}{26682500}\) - step19: Rewrite the fraction: \(-\frac{1971704791}{26682500}\) Al calcular \( n \), obtenemos: \[ n \approx -73.90 \] Sin embargo, un número de moles no puede ser negativo, lo que indica que el valor de \( b \) que asumimos puede no ser adecuado para las condiciones dadas o que la presión y el volumen no son compatibles con el modelo de Van der Waals en este caso. ### Paso 6: Calcular el número de moléculas El número de moléculas \( N \) se puede calcular utilizando la relación: \[ N = n \cdot N_A \] donde \( N_A \) es el número de Avogadro, aproximadamente \( 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1} \). Dado que \( n \) resultó en un valor no válido, no podemos continuar con este cálculo. Esto sugiere que las condiciones dadas (presión y volumen) pueden no ser adecuadas para el gas en cuestión bajo la ecuación de Van der Waals. ### Conclusión Para obtener un resultado válido, sería necesario revisar el valor de \( b \) o las condiciones del gas. Si tienes un valor específico para \( b \) o deseas usar otro gas, por favor proporciónalo para que podamos recalcular.