En funktion \( f \) er bestemt ved: \( f(x)=x \cdot \ln (x)-x \) \( x>0 \) Besten den afledede af \( f(x) \cdot f^{\prime}(x) \)

For at finde den afledede af \( f(x) \cdot f'(x) \) kan vi bruge produktreglen. Vi ved, at \( f'(x) \) er den afledede af \( f(x) \), som kan findes først. Vi beregner \( f'(x) \): \[ f(x) = x \ln(x) - x \] Ved at bruge produktreglen og den kædede regel, får vi: \[ f'(x) = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x) \] Så har vi \( f'(x) = \ln(x) \). Nu bruger vi produktreglen: \[ (h \cdot g)' = h' \cdot g + h \cdot g' \] Her sætter vi \( h = f(x) \) og \( g = f'(x) = \ln(x) \): \[ \frac{d}{dx}(f(x) \cdot f'(x)) = f'(x) \cdot f'(x) + f(x) \cdot f''(x) \] For at finde \( f''(x) \), så kan vi differentiere \( f'(x) = \ln(x) \): \[ f''(x) = \frac{1}{x} \] Så kan vi samle trådene: \[ \frac{d}{dx}(f(x) \cdot f'(x)) = f'(x) f'(x) + f(x) f''(x) = \ln(x) \cdot \ln(x) + (x \ln(x) - x) \cdot \frac{1}{x} \] Og omskriver til: \[ \frac{d}{dx}(f(x) \cdot f'(x)) = \ln^2(x) + \ln(x) - 1 \] Derfor er den afledede af \( f(x) \cdot f'(x) \): \[ \frac{d}{dx}(f(x) \cdot f'(x)) = \ln^2(x) + \ln(x) - 1 \]