10) Se o número $$ 741^{n} $$ tem $$ \cdot a b a $$ divisores, sendo $$ a $$ e $$ b $$ algarismos. Calcule $$ b^{a} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Observe que $$741 = 3 \times 13 \times 19$$. Assim,  
   $$
   741^{n} = 3^{n} \times 13^{n} \times 19^{n}.
   $$
   
2. O número de divisores de um número na forma $$p^n q^n r^n$$ é dado por  
   $$
   d(741^n) = (n+1)(n+1)(n+1) = (n+1)^3.
   $$
   
3. Segundo o enunciado, $$(n+1)^3$$ é um número de três dígitos da forma $$\overline{aba}$$, ou seja, um palíndromo com o primeiro e último dígitos iguais. Definindo $$k=n+1$$, precisamos que  
   $$
   100 \leq k^3 \leq 999.
   $$
   Para $$k$$ inteiro, os valores possíveis são de 5 a 9:
   - Para $$k = 5$$: $$5^3 = 125$$ (não é palíndromo);
   - Para $$k = 6$$: $$6^3 = 216$$ (não é palíndromo);
   - Para $$k = 7$$: $$7^3 = 343$$ (é palíndromo, pois $$343$$ lido de trás para frente é $$343$$);
   - Para $$k = 8$$: $$8^3 = 512$$ (não é palíndromo);
   - Para $$k = 9$$: $$9^3 = 729$$ (não é palíndromo).

4. Assim, temos $$k = 7$$ e, portanto,  
   $$
   n+1 = 7 \quad \Longrightarrow \quad n = 6.
   $$
   O número de divisores é $$343$$, onde a forma $$\overline{aba}$$ indica que $$a = 3$$ e $$b = 4$$.

5. Finalmente, o enunciado pede para calcular $$b^a$$. Substituindo os valores encontrados:  
   $$
   b^a = 4^3 = 64.
   $$

Portanto, o resultado é $$64$$.
$$ b^{a} = 64 $$

Se o número tem divisores, sendo
e algarismos. Calcule

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Algebra Questions

Se o número tem divisores, sendo e algarismos. Calcule