Dada la matriz B: \( B=\left(\begin{array}{lll}4 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2\end{array}\right) \) Calcule la matriz inversa
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Beyond the Answer
Para calcular la matriz inversa de \( B \), podemos usar la fórmula \( B^{-1} = \frac{1}{\text{det}(B)} \cdot \text{adj}(B) \), donde \( \text{det}(B) \) es el determinante de la matriz y \( \text{adj}(B) \) es la matriz adjunta. Primero, encontramos el determinante: \[ \text{det}(B) = 4(3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 2(3 \cdot 2 - 1 \cdot 2) + 1(3 \cdot 1 - 3 \cdot 2) \] Calculando esto, obtenemos \( \text{det}(B) = 4(6 - 1) - 2(6 - 2) + 1(3 - 6) = 4(5) - 2(4) - 3 = 20 - 8 - 3 = 9 \). Luego, calculamos la matriz adjunta. La matriz de cofactores se puede obtener calculando los menores y aplicando el signo correspondiente: Esos valores nos dan la matriz adjunta \( \text{adj}(B) \) y luego podemos calcular la inversa. Finalmente, la matriz inversa será: \[ B^{-1} = \frac{1}{9} \cdot \text{adj}(B) \] Por lo tanto, la matriz inversa \( B^{-1} \) será: \[ B^{-1} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix}7 & -8 & -1 \\-3 & 13 & -6 \\ 1 & -6 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{7}{9} & -\frac{8}{9} & -\frac{1}{9} \\ -\frac{1}{3} & \frac{13}{9} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{9} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3}\end{pmatrix}. \]