2. Una granja produce tres tipos de vegetales: lechuga (L), tomates (T) y pimientos (P). El departamento de ventas ha establecido los siguientes precios de venta: (L) a \( \$ 8 \) por kg, (T) a \( \$ 12 \) por kg y \( (\mathrm{P}) \) a \( \$ 10 \) por kg. Cada vegetal requiere diferentes cantidades de agua, nutrientes y tiempo de crecimiento. Los Requerimientos de recursos para los (T) son: Agua 10 litros por kg, Nutrientes 5 unidades por kg y Tiempo de Crecimiento 40 días por kg, para las (L) son: Agua 5 litros por kg, Nutrientes 2 unidades por kg y Tiempo de Crecimiento 20 días por kg y para los (P) son: Agua 8 litros por kg, Nutrientes 4 unidades por kg y Tiempo de Crecimiento 30 días por kg. La empresa tiene una Disponibilidad de recursos de la granja es de: Agua 5000 litros, Nutrientes 2000 unidades y Tiempo de Crecimiento Se planifica la producción para un ciclo de 120 días. Objetivo: Construir un Sistema de Ecuaciones Lineales y resolver por Gauss o Gauss/Jordan.

Consideremos las variables \[ L,\;T,\;P \] que representan la cantidad (en kg, o en la unidad que se maneje) de lechuga, tomates y pimientos, respectivamente. Con base en la información dada se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: 1) Por el consumo de agua: \[ 5L + 10T + 8P = 5000. \] 2) Por el consumo de nutrientes: \[ 2L + 5T + 4P = 2000. \] 3) Por el tiempo de crecimiento (para un ciclo de 120 días): \[ 20L + 40T + 30P = 120. \] Procedemos a resolver este sistema mediante eliminación (Gauss o Gauss–Jordan). ### Paso 1. Simplificar la tercera ecuación Dividamos la ecuación (3) entre 10 para facilitar los cálculos: \[ \frac{20L + 40T + 30P}{10} = \frac{120}{10} \quad\Longrightarrow\quad 2L + 4T + 3P = 12. \] Llamaremos a esta nueva ecuación (3′). ### Paso 2. Restar (3′) de la ecuación (2) Las ecuaciones (2) y (3′) son \[ \begin{array}{rcl} (2)&:&2L + 5T + 4P = 2000,\\[1mm] (3')&:&2L + 4T + 3P = 12. \end{array} \] Restamos (3′) de (2): \[ \begin{array}{rcl} (2) - (3'):&\;&[2L+5T+4P] - [2L+4T+3P] = 2000 - 12,\\[1mm] &\;&(5T - 4T) + (4P-3P) = 1988,\\[1mm] &\;&T + P = 1988. \end{array} \] De aquí obtenemos \[ T = 1988 - P. \] ### Paso 3. Expresar \(L\) en términos de \(P\) usando (3′) La ecuación (3′) es \[ 2L + 4T + 3P = 12. \] Sustituyendo \(T = 1988 - P\), \[ 2L + 4(1988 - P) + 3P = 12. \] Calculamos \(4\times1988\): \[ 4 \cdot 1988 = 7952. \] Entonces \[ 2L + 7952 - 4P + 3P = 12 \quad\Longrightarrow\quad 2L + 7952 - P = 12. \] Despejamos \(L\): \[ 2L = 12 - 7952 + P, \] \[ 2L = P - 7940, \] \[ L = \frac{P - 7940}{2}. \] ### Paso 4. Sustituir \(L\) y \(T\) en la ecuación (1) La ecuación (1) es \[ 5L + 10T + 8P = 5000. \] Sustituyendo \(L = \frac{P-7940}{2}\) y \(T = 1988 - P\), obtenemos: \[ 5\left(\frac{P-7940}{2}\right) + 10(1988-P) + 8P = 5000. \] Multipliquemos la primera parte: \[ \frac{5(P-7940)}{2} + 10(1988-P) + 8P = 5000. \] Multipliquemos toda la ecuación por 2 para eliminar el denominador: \[ 5(P-7940) + 20(1988-P) + 16P = 10000. \] Desarrollamos los términos: \[ 5P - 39700 + 20 \cdot 1988 - 20P + 16P = 10000. \] Calculamos \(20 \cdot 1988\): \[ 20 \cdot 1988 = 39760. \] Reemplazamos: \[ 5P - 39700 + 39760 - 20P + 16P = 10000. \] Agrupamos los términos en \(P\): \[ (5P - 20P + 16P) + (-39700 + 39760) = 10000, \] \[ (5 - 20 + 16)P + 60 = 10000. \] Observamos que \[ 5 - 20 + 16 = 1, \] por lo que \[ P + 60 = 10000, \] \[ P = 10000 - 60, \] \[ P = 9940. \] ### Paso 5. Calcular \(T\) y \(L\) Recordamos que \[ T = 1988 - P, \] entonces: \[ T = 1988 - 9940 = -7952. \] Y para \(L\): \[ L = \frac{P - 7940}{2} = \frac{9940 - 7940}{2} = \frac{2000}{2} = 1000. \] ### Solución obtenida El sistema tiene la solución \[ L = 1000,\quad T = -7952,\quad P = 9940. \] Nota: Aunque el método algebraico ha permitido encontrar una solución al sistema, el valor negativo de \(T\) (tomates) indica que, en el contexto del problema (producción de vegetales), no existe una solución factible (ya que cantidades negativas no tienen sentido físico). Esto hace notar que, con las condiciones y datos suministrados, los recursos (agua, nutrientes y tiempo) no son compatibles para producir cantidades no negativas de los tres vegetales de acuerdo con el modelo planteado. La resolución del sistema mediante eliminación (Gauss/Gauss–Jordan) quedaría resumida en los pasos anteriores.