5. Lee el planteamiento y contesta. Se debe construir un mosaico usando 1000 piezas de cubo de Rubik; esta obra debe tener 15 piezas más de largo que de ancho. - Representa de manera gráfica el planteamiento. ¿Qué expresión representa cada medida? ¿Cuál es la ecuación que representa el área del rectángulo? Resuelve la ecuación. ¿Cuál es la solución?

Para resolver el problema, sigamos los pasos indicados: 1. **Extraer las condiciones conocidas:** - Se deben usar 1000 piezas de cubo de Rubik. - La longitud del mosaico es 15 piezas más que el ancho. 2. **Representación gráfica:** - Sea \( a \) el ancho del mosaico. - Entonces, la longitud \( l \) se puede expresar como \( l = a + 15 \). 3. **Ecuación que representa el área del rectángulo:** - El área \( A \) de un rectángulo se calcula como \( A = l \times a \). - Sustituyendo la expresión de \( l \), tenemos: \[ A = (a + 15) \times a \] - Dado que el área total es 1000, podemos establecer la ecuación: \[ (a + 15) \times a = 1000 \] 4. **Resolviendo la ecuación:** - Expandimos la ecuación: \[ a^2 + 15a - 1000 = 0 \] - Ahora, resolveremos esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula cuadrática: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] - En nuestra ecuación, \( a = 1 \), \( b = 15 \), y \( c = -1000 \). Ahora, procederé a calcular el valor de \( a \). Solve the quadratic equation by following steps: - step0: Solve by factoring: \(a^{2}+15a-1000=0\) - step1: Factor the expression: \(\left(a-25\right)\left(a+40\right)=0\) - step2: Separate into possible cases: \(\begin{align}&a-25=0\\&a+40=0\end{align}\) - step3: Solve the equation: \(\begin{align}&a=25\\&a=-40\end{align}\) - step4: Rewrite: \(a_{1}=-40,a_{2}=25\) 5. **Solución de la ecuación:** - Al resolver la ecuación cuadrática \( a^2 + 15a - 1000 = 0 \), encontramos dos soluciones: - \( a_1 = -40 \) - \( a_2 = 25 \) Dado que el ancho no puede ser negativo, tomamos la solución válida: - \( a = 25 \) 6. **Cálculo de la longitud:** - Usando la relación \( l = a + 15 \): \[ l = 25 + 15 = 40 \] 7. **Conclusión:** - El ancho del mosaico es \( 25 \) piezas y la longitud es \( 40 \) piezas. - La expresión que representa el ancho es \( a \) y la longitud es \( a + 15 \). - La ecuación que representa el área del rectángulo es \( (a + 15) \times a = 1000 \). Por lo tanto, el mosaico tendrá dimensiones de \( 25 \) piezas de ancho y \( 40 \) piezas de largo.