Resuelve las sic. entes integrales cie manera individual. Justifica tus respuestas. 1. $$ \int(6 x+2) d x= $$ 2. $$ \int \frac{5 x}{3} d x= $$ 3. $$ \int\left(2 x^{2}+3 x\right) a^{\prime}= $$ 4. $$ \int\left(x-x^{3}\right) d x= $$ 5. $$ \int \sqrt{2 x} d x= $$ 6. $$ \int \sqrt[3]{5 x} d x= $$ $$ \int \frac{3}{x^{2}} d x=\frac{-1 \cdot 1}{x}+C $$ $$ \int\left(x^{2}+2 x-3\right) d x= $$

Question

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Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int \frac{5x}{3} dx$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\int \frac{5}{3}x dx$$
- step2: Use properties of integrals:
  $$\frac{5}{3}\times \int x dx$$
- step3: Evaluate the integral:
  $$\frac{5}{3}\times \frac{x^{1+1}}{1+1}$$
- step4: Simplify:
  $$\frac{5}{3}\times \frac{x^{2}}{2}$$
- step5: Multiply the terms:
  $$\frac{5x^{2}}{3\times 2}$$
- step6: Multiply the terms:
  $$\frac{5x^{2}}{6}$$
- step7: Add the constant of integral C:
  $$\frac{5x^{2}}{6} + C, C \in \mathbb{R}$$
Calculate the integral $$ x - x^3 $$.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int \left(x-x^{3}\right) dx$$
- step1: Use properties of integrals:
  $$\int x dx+\int -x^{3} dx$$
- step2: Evaluate the integral:
  $$\frac{x^{2}}{2}+\int -x^{3} dx$$
- step3: Evaluate the integral:
  $$\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}$$
- step4: Add the constant of integral C:
  $$\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4} + C, C \in \mathbb{R}$$
Calculate the integral $$ x^2 + 2*x - 3 $$.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int \left(x^{2}+2x-3\right) dx$$
- step1: Use properties of integrals:
  $$\int x^{2} dx+\int 2x dx+\int -3 dx$$
- step2: Evaluate the integral:
  $$\frac{x^{3}}{3}+\int 2x dx+\int -3 dx$$
- step3: Evaluate the integral:
  $$\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\int -3 dx$$
- step4: Evaluate the integral:
  $$\frac{x^{3}}{3}+x^{2}-3x$$
- step5: Add the constant of integral C:
  $$\frac{x^{3}}{3}+x^{2}-3x + C, C \in \mathbb{R}$$
Calculate the integral $$ 6*x + 2 $$.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int \left(6x+2\right) dx$$
- step1: Use properties of integrals:
  $$\int 6x dx+\int 2 dx$$
- step2: Evaluate the integral:
  $$3x^{2}+\int 2 dx$$
- step3: Evaluate the integral:
  $$3x^{2}+2x$$
- step4: Add the constant of integral C:
  $$3x^{2}+2x + C, C \in \mathbb{R}$$
Calculate the integral $$ 3/x^2 $$.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int \frac{3}{x^{2}} dx$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\int 3\times \frac{1}{x^{2}} dx$$
- step2: Use properties of integrals:
  $$3\times \int \frac{1}{x^{2}} dx$$
- step3: Evaluate the integral:
  $$3\times \frac{x^{-2+1}}{-2+1}$$
- step4: Simplify:
  $$3\left(-\frac{1}{x}\right)$$
- step5: Multiply the terms:
  $$-3\times \frac{1}{x}$$
- step6: Multiply the terms:
  $$-\frac{3}{x}$$
- step7: Add the constant of integral C:
  $$-\frac{3}{x} + C, C \in \mathbb{R}$$
Calculate the integral $$ (5*x)^(1/3) $$.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using partial integration formula:
  $$\int \left(5x\right)^{\frac{1}{3}} dx$$
- step1: Prepare for integration by parts:
  $$\begin{align}&u=\left(5x\right)^{\frac{1}{3}}\&dv=dx\end{align}$$
- step2: Calculate the derivative:
  $$\begin{align}&du=\frac{\sqrt[3]{5}}{3x^{\frac{2}{3}}}dx\&dv=dx\end{align}$$
- step3: Evaluate the integral:
  $$\begin{align}&du=\frac{\sqrt[3]{5}}{3x^{\frac{2}{3}}}dx\&v=x\end{align}$$
- step4: Substitute the values into formula:
  $$\left(5x\right)^{\frac{1}{3}}x-\int \frac{\sqrt[3]{5}}{3x^{\frac{2}{3}}}\times x dx$$
- step5: Calculate:
  $$5^{\frac{1}{3}}x^{\frac{4}{3}}-\int \frac{\sqrt[3]{5}\times x^{\frac{1}{3}}}{3} dx$$
- step6: Evaluate the integral:
  $$5^{\frac{1}{3}}x^{\frac{4}{3}}-\frac{\sqrt[3]{5}}{4}x^{\frac{4}{3}}$$
- step7: Collect like terms:
  $$\left(5^{\frac{1}{3}}-\frac{\sqrt[3]{5}}{4}\right)x^{\frac{4}{3}}$$
- step8: Subtract the numbers:
  $$\frac{3\sqrt[3]{5}}{4}x^{\frac{4}{3}}$$
- step9: Simplify:
  $$\frac{3\sqrt[3]{5x}\times x}{4}$$
- step10: Add the constant of integral C:
  $$\frac{3\sqrt[3]{5x}\times x}{4} + C, C \in \mathbb{R}$$
Aquí están las soluciones a las integrales solicitadas, junto con las justificaciones:

1. **Integral de $$6x + 2$$**:
   $$
   \int(6x + 2) \, dx = 3x^{2} + 2x + C, \quad C \in \mathbb{R}
   $$
   **Justificación**: Se aplica la regla de la potencia, donde $$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$. Para $$6x$$, $$n=1$$ y para $$2$$, $$n=0$$.

2. **Integral de $$\frac{5x}{3}$$**:
   $$
   \int \frac{5x}{3} \, dx = \frac{5x^{2}}{6} + C, \quad C \in \mathbb{R}
   $$
   **Justificación**: Similarmente, se aplica la regla de la potencia. Aquí, $$n=1$$ para $$5x$$.

3. **Integral de $$(2x^{2} + 3x)a'$$**:
   - No se puede resolver directamente porque la expresión no está bien definida. Se necesita más información sobre $$a'$$.

4. **Integral de $$x - x^{3}$$**:
   $$
   \int(x - x^{3}) \, dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4} + C, \quad C \in \mathbb{R}
   $$
   **Justificación**: Se aplica la regla de la potencia a cada término.

5. **Integral de $$\sqrt{2x}$$**:
   - No se puede resolver directamente porque la expresión no está en un formato soportado. Se puede reescribir como $$(2x)^{1/2}$$ y aplicar la regla de la potencia.

6. **Integral de $$\sqrt[3]{5x}$$**:
   $$
   \int \sqrt[3]{5x} \, dx = \frac{3\sqrt[3]{5x} \cdot x}{4} + C, \quad C \in \mathbb{R}
   $$
   **Justificación**: Se aplica la regla de la potencia, donde se considera $$5x$$ como una constante multiplicativa.

7. **Integral de $$\frac{3}{x^{2}}$$**:
   $$
   \int \frac{3}{x^{2}} \, dx = -\frac{3}{x} + C, \quad C \in \mathbb{R}
   $$
   **Justificación**: Se reescribe como $$3x^{-2}$$ y se aplica la regla de la potencia.

8. **Integral de $$x^{2} + 2x - 3$$**:
   $$
   \int(x^{2} + 2x - 3) \, dx = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3x + C, \quad C \in \mathbb{R}
   $$
   **Justificación**: Se aplica la regla de la potencia a cada término.

Si necesitas más aclaraciones o ayuda con alguna de las integrales, no dudes en preguntar.
Aquí están las soluciones a las integrales: 1. $$ \int(6x + 2) \, dx = 3x^{2} + 2x + C $$ 2. $$ \int \frac{5x}{3} \, dx = \frac{5x^{2}}{6} + C $$ 3. $$ \int(2x^{2} + 3x) \, dx = \frac{2x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}}{2} + C $$ 4. $$ \int(x - x^{3}) \, dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4} + C $$ 5. $$ \int \sqrt{2x} \, dx = \frac{2\sqrt{2x^{3}}}{3} + C $$ 6. $$ \int \sqrt[3]{5x} \, dx = \frac{3\sqrt[3]{5x^{4}}}{4} + C $$ 7. $$ \int \frac{3}{x^{2}} \, dx = -\frac{3}{x} + C $$ 8. $$ \int(x^{2} + 2x - 3) \, dx = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3x + C $$ Si tienes preguntas sobre alguna de estas soluciones, no dudes en preguntar.

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