Resuelve las sic. entes integrales cie manera individual. Justifica tus respuestas. 1. \( \int(6 x+2) d x= \) 2. \( \int \frac{5 x}{3} d x= \) 3. \( \int\left(2 x^{2}+3 x\right) a^{\prime}= \) 4. \( \int\left(x-x^{3}\right) d x= \) 5. \( \int \sqrt{2 x} d x= \) 6. \( \int \sqrt[3]{5 x} d x= \) \[ \int \frac{3}{x^{2}} d x=\frac{-1 \cdot 1}{x}+C \] \[ \int\left(x^{2}+2 x-3\right) d x= \]
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Para cada una de las integrales, a continuación se presentan las soluciones junto con sus justificaciones: 1. \( \int(6 x+2) d x = 3x^2 + 2x + C \) - Justificación: Aplicamos la regla de potencia para integrar. El término \(6x\) se convierte en \(3x^2\) y el término constante \(2\) se integra como \(2x\). No olvidemos agregar la constante de integración \(C\). 2. \( \int \frac{5 x}{3} d x = \frac{5}{6} x^2 + C \) - Justificación: Primero, sacamos el factor constante \(\frac{5}{3}\) fuera de la integral. Luego, integramos \(x\) utilizando la regla de potencia, lo que da como resultado \(\frac{1}{2} x^2\) y multiplicamos por \(\frac{5}{3}\). 3. \( \int\left(2 x^{2}+3 x\right) a^{\prime} = a \left(\frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2\right) + C \) - Justificación: Aquí \(a^{\prime}\) sugiere que \(a\) es una función de \(x\). Integramos \(2x^2\) y \(3x\) como de costumbre, dejando así la constante de integración \(C\). 4. \( \int\left(x-x^{3}\right) d x = \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} x^4 + C \) - Justificación: Aplicamos la regla de potencia a cada término. El término \(x\) se convierte en \(\frac{1}{2} x^2\) y \(-x^3\) se convierte en \(-\frac{1}{4} x^4\). 5. \( \int \sqrt{2 x} d x = \frac{2}{3} (2x)^{3/2} + C \) - Justificación: Es conveniente hacer un cambio de variable. Si \(u = \sqrt{2x}\), entonces \(x = \frac{u^2}{2}\). Integramos usando la regla de potencia y revertimos al final. 6. \( \int \sqrt[3]{5 x} d x = \frac{3}{5}(5x)^{4/3} + C \) - Justificación: Al igual que en el caso anterior, se puede usar un cambio de variable, donde \(u = \sqrt[3]{5x}\). La integración de \(u\) siguiendo la regla de potencia nos lleva a esta solución. \[ \int \frac{3}{x^{2}} d x = -\frac{3}{x} + C \] \[ \int\left(x^{2}+2 x-3\right) d x = \frac{1}{3} x^3 + x^2 - 3x + C \] - Justificación: Aquí, cada término se integra usando la regla de potencia, ajustando adecuadamente las constantes de integración.