4. En un plàno cartesiano: a. Ubica el ángulo positivo en posición normal que pasa por el punto ( 3,3 ). Encuentra su medida en radianes. b. Ubica el ángulo negativo en posición normal que pasa por el punto \( (-1,2) \). Encuentra su medida en grados. c. Ubica el ángulo en posición normal positivo que pasa por el punto \( (0,-5) \) y encuentra su medida en radianes. d. Encuentra en grados la medida del ángulo positivo en posición normal que pasa por el punto ( 3,1\( ) \). e. Encuentra en radianes la medida del ángulo negativo en posición normal que pasa por el punto (2, -3). f. Encuentra en radianes la medida del ángulo que pasa por el punto \( (-2,-4) \), está en posición normal y es positivo. g. Ubica el ángulo cuyo lado final pasa por el punto ( 3,0\( ) \) y está en posición normal. Encuentra la medida del ángulo.

Para resolver cada uno de los incisos, utilizaremos la relación entre las coordenadas de un punto en el plano cartesiano y la medida del ángulo en radianes o grados. La medida del ángulo se puede encontrar utilizando la función tangente y el arco tangente (arctan) para determinar el ángulo correspondiente. ### a. Ángulo positivo en posición normal que pasa por el punto (3, 3) 1. **Identificar las coordenadas**: \( x = 3 \), \( y = 3 \). 2. **Calcular el ángulo**: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{3}\right) = \tan^{-1}(1) \] El ángulo cuya tangente es 1 es \( \frac{\pi}{4} \) radianes. 3. **Medida en radianes**: \[ \theta = \frac{\pi}{4} \text{ radianes} \] ### b. Ángulo negativo en posición normal que pasa por el punto (-1, 2) 1. **Identificar las coordenadas**: \( x = -1 \), \( y = 2 \). 2. **Calcular el ángulo**: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{-1}\right) = \tan^{-1}(-2) \] Este ángulo está en el segundo cuadrante, por lo que: \[ \theta = 180^\circ + \tan^{-1}(-2) \] Calculamos el ángulo en grados: \[ \theta \approx 180^\circ - 63.43^\circ \approx 116.57^\circ \] Para el ángulo negativo, restamos 360°: \[ \theta \approx -243.43^\circ \] ### c. Ángulo positivo en posición normal que pasa por el punto (0, -5) 1. **Identificar las coordenadas**: \( x = 0 \), \( y = -5 \). 2. **Calcular el ángulo**: El punto está en el eje negativo de \( y \), por lo que el ángulo es: \[ \theta = \frac{3\pi}{2} \text{ radianes} \] ### d. Ángulo positivo en posición normal que pasa por el punto (3, 1) 1. **Identificar las coordenadas**: \( x = 3 \), \( y = 1 \). 2. **Calcular el ángulo**: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \] Calculamos el ángulo en grados: \[ \theta \approx 18.43^\circ \] ### e. Ángulo negativo en posición normal que pasa por el punto (2, -3) 1. **Identificar las coordenadas**: \( x = 2 \), \( y = -3 \). 2. **Calcular el ángulo**: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-3}{2}\right) \] Este ángulo está en el cuarto cuadrante, por lo que: \[ \theta \approx -56.31^\circ \] Convertimos a radianes: \[ \theta \approx -\frac{56.31 \cdot \pi}{180} \text{ radianes} \] ### f. Ángulo positivo en posición normal que pasa por el punto (-2, -4) 1. **Identificar las coordenadas**: \( x = -2 \), \( y = -4 \). 2. **Calcular el ángulo**: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-4}{-2}\right) = \tan^{-1}(2) \] Este ángulo está en el tercer cuadrante, por lo que: \[ \theta = 180^\circ + \tan^{-1}(2) \] Convertimos a radianes: \[ \theta \approx \pi + \tan^{-1}(2) \text{ radianes} \] ### g. Ángulo cuyo lado final pasa por el punto (3, 0) 1. **Identificar las coordenadas**: \( x = 3 \), \( y = 0 \). 2. **Calcular el ángulo**: El punto está en el eje positivo de \( x \), por lo que el ángulo es: \[ \theta = 0 \text{ radianes} \text{ o } 0^\circ \] ### Resumen de resultados: - a. \( \frac{\pi}{4} \) radianes - b. \( -243.43^\circ \) - c. \( \frac{3\pi}{2} \) radianes - d. \( 18.43^\circ \) - e. \( -0.983 \) radianes (aproximadamente) - f. \( \pi + \tan^{-1}(2) \) radianes - g. \( 0 \) radianes (o \( 0^\circ \))