Question
upstudy study bank question image url

Постройте график функции \[ y=\left\{\begin{array}{lll}x^{2}-2 x+2 & \text { при } & x \geq-1, \\ -\frac{2}{x} & \text { при } & x<-1 .\end{array}\right. \] Определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y=m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ask by Sanders Hamilton. in Russia
Mar 13,2025

Upstudy AI Solution

Tutor-Verified Answer

Answer

Для прямой \( y = m \) будет одна общая точка с графиком функции, если \( m = 1 \) или \( m < 0 \).

Solution

Sign in to Unlock Answers for Free!

A Learning Platform Trusted by Millions of Real Students and Teachers.

star-icon Unlock

Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor

Extra Insights

Для анализа функции определим обе её части. 1. **Первая часть функции**: \( y = x^2 - 2x + 2 \) для \( x \geq -1 \) – это парабола, открывающаяся вверх. Для нахождения минимума найдем вершину параболы. Вершина находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} = 1 \). Подставив значение \( x = 1 \) в функцию: \[ y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 1. \] Таким образом, минимальное значение первой части функции равно 1, и оно достигается при \( x = 1 \). 2. **Вторая часть функции**: \( y = -\frac{2}{x} \) для \( x < -1 \) – это гипербола, которая имеет асимптоты. Она стремится к бесконечности, когда \( x \) приближается к -1 и стремится к нулю при отрицательных значениях \( x \). На этом интервале функция не может пересекать линию \( y = m \) для \( m \geq 0 \), так как все её значения отрицательные. Теперь определим значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) касается графика функции. 1. Для первой части, прямая может касаться параболы только в точке минимума при \( m = 1 \). 2. Для второй части, касание будет возможно, когда функция \( -\frac{2}{x} \) будет равна значению \( m < 0 \) и не будет пересчитываться, что также не дает возможность иметь две пересечения. Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь ровно одну точку касания с графиком функции в двух случаях: - \( m = 1 \) (касание с минимумом первой части) - значения \( m < 0 \) (касание с второй частью) Следовательно: \[ \text{Отвечая на вопрос: } m = 1 \text{ или } m < 0. \]

Related Questions

Latest Pre Calculus Questions

Try Premium now!
Try Premium and ask Thoth AI unlimited math questions now!
Maybe later Go Premium
Study can be a real struggle
Why not UpStudy it?
Select your plan below
Premium

You can enjoy

Start now
  • Step-by-step explanations
  • 24/7 expert live tutors
  • Unlimited number of questions
  • No interruptions
  • Full access to Answer and Solution
  • Full Access to PDF Chat, UpStudy Chat, Browsing Chat
Basic

Totally free but limited

  • Limited Solution
Welcome to UpStudy!
Please sign in to continue the Thoth AI Chat journey
Continue with Email
Or continue with
By clicking “Sign in”, you agree to our Terms of Use & Privacy Policy